Model strjevanja binarne zlitine

Uvod
Proizvodnja aluminija in njegovih zlitin v zadnjih desetletjih hitro narasca. V letu 2005 je svetovna proizvodnja aluminija znasala ze 23 milijonov ton [1]. Aluminij ima majhno gostoto, kar je pomembno pri transportni industriji. Cisti aluminij ima majhno trdnost, vendar je trdnost mogoce zvecati z zlivanjem (legiranjem) z drugimi elementi [2]. Na povrsini aluminija nastane trdna oksidna plast, kar daje aluminiju dobro korozijsko odpornost. Aluminij tudi ni toksicen, tako se ga lahko uporablja v prehrambeni industriji za embalazo. Prav tako ima aluminij dobre prevodne lastnosti. Aluminijeve zlitine zdruzujejo vec ugodnih lastnosti, kar je razlog za cedalje vecjo uporabo v razlicnih industrijskih panogah. Velik izziv metalurske industrije predstavlja razvoj metod za izdelavo in predelavo aluminijevih zlitin, ki dajejo optimalne lastnosti glede na namen uporabe.

Pomemben proces pri proizvodnji aluminijevih zlitin je strjevanje taline. Med strjevanjem lahko pride do napak v koncni strjeni zlitini. Napake, ki nastanejo pri ulivanju, so napake oblike, notranja in zunanja razpokanost, poroznost in nehomogena sestava ­

makroizcejanje. V tem diplomskem delu se osredotocimo na opis in simulacijo fizikalnih pojavov, ki so vzrok makroizcejanju pri strjevanju binarne zlitine. Ce zelimo omenjene napake odstraniti, je potrebno dobro poznati dogajanje med strjevanjem. Podobno kot pri ostalih inzenirskih panogah, so tudi pri izdelavi in obdelavi materialov za razumevanje kljucnega pomena numericne simulacije. V zelji po razumevanju, napovedi in nadzoru procesa strjevanja poteka v svetu razvejana raziskovalna dejavnost. Med prvimi se je s podobnim problemom srecal Jozef Stefan pri preucevanju debeline ledene plasti [3]. Stefan je preuceval strjevanje ciste snovi (vode). Med drugim je analiticno resil problem, kjer vsa snov miruje. Nastavil je tudi problem, ki uposteva gibanje kapljevinaste faze zaradi krcenja snovi pri strjevanju, vendar ga ni znal resiti. V cast pionirskemu Stefanovem delu na tem podrocju se tovrstni problemi imenujejo Stefanovi problemi.

Najbolj pogosti nacini ulivanja aluminija so polkontinuirano, tracno in tlacno ulivanje [2]. Osnovni model s katerim lahko simuliramo makroizcejanje je strjevanje binarne zlitine v enodimenzionalni geometriji. V tem delu razvijemo tak fizikalni model [4-9], ga numericno resimo [10-14] ter dobljene rezultate primerjamo z eksperimentalnimi rezultati [15].

7

1.1. Opredelitev problema Iscemo casovni razvoj temperature in sestavin binarne zlitine pri procesu strjevanja v eni dimenziji pri dani zacetni porazdelitvi temperature z Dirichletovimi robnimi pogoji in zacetno porazdelitvijo sestave. Privzemimo, da je rob s katere poteka strjevanje zaprt, medtem ko iz drugega roba v obmocje priteka talina z znano sestavo. V simulaciji bomo uporabili podatke za zlitino aluminija in bakra. Omejili se bomo na industrijsko zanimive zlitine z nizko vrednostjo dodanega bakra (5-10% utezni delez). Zlitino opisemo z gostoto trdne in kapljevinaste faze, koncentracijo bakra v obeh fazah (v nadaljevanju

koncentracija), toplotno prevodnostjo obeh faz, specificno toploto obeh faz, latentno toploto, koeficientom snovne difuzije v trdni fazi in faznim diagramom. Privzamemo, da so vse snovne lastnosti, odvisne od faze, v kateri se snov nahaja, da je kapljevinasta faza na mikroskopskem nivoju dobro premesana in da imamo po celotnem obmocju ves cas konstanten tlak. Predpostavimo tudi, da sta fazi ves cas v ravnovesju in imata enako temperaturo.

V splosnem imata kapljevinasta in trdna faza razlicni gostoti, obicajno je trdna faza gostejsa. Med strjevanjem je zato gostota odvisna od deleza strjene snovi. Zaradi ohranitve mase casovna odvisnost gostote zahteva krcenje in pritekanje snovi v obmocje strjevanja. Obravnavamo enodimenzionalen problem, tako upostevamo le pritekanje snovi v obmocje strjevanja. Privzamemo, da se trdna faza ne more premikati. Tako v obmocje strjevanja priteka le snov iz kapljevinaste faze. Obmocje je ves cas napolnjeno s snovjo. Tok kapljevinaste faze privede do prenosa snovi iz kapljevinaste faze v obmocje strjevanja. Pojav vpliva na potek strjevanja in na koncno koncentracijo v trdni fazi. Resevanje problema razdelimo na dve merili: makroskopski nivo in mikroskopski nivo. Na makroskopskem nivoju upostevamo ohranitev toplote, sestavin in snovi. Na

mikroskopskem nivoju opisemo prenos snovi na medfaznem robu. Pojav opisemo s faznim diagramom.

Robne pogoje in zacetno porazdelitev temperature nastavimo v obmocje faznega prehoda. Zacetna porazdelitev temperature naj bo konstantna in vecja ali enaka temperaturi, kjer je vsa snov v kapljevinasti fazi. Temperaturo na enem robu nastavimo pod temperaturo, kjer je vsa snov v trdni fazi, medtem ko naj bo temperatura na drugem robu ves cas enaka (enofazni problem) ali vecja (dvofazni problem) od zacetne temperature. Zlitina, ki je na zacetku v celoti v kapljevinasti fazi, se bo strjevala. Na makroskopskem nivoju nastanejo tri obmocja: obmocje, kjer je vsa snov v trdni fazi, obmocje, kjer je vsa snov v kapljevinasti fazi in kasasto obmocje, kjer nastopa zmes trdne in kapljevinaste faze (slika 1).

8

Slika 1: Splosna shema strjevanja binarne zlitine. 1.2. Namen diplomskega dela Namen je razviti model za opis makroizcejanja binarne zlitine v enodimenzionalni geometriji, ki bi ga lahko posplosili na vec sestavin in vec dimenzij. Model numericno implementiramo in analiziramo rezultate glede na razlicne predpostavke, ki sodijo v okvir opredelitve problema. Naredimo verifikacijo racunskega postopka s primerjavo rezultatov z analiticno resitvijo Stefanovega problema, ki je poseben primer opisanega modela in na podlagi primerjave z rezultati metode koncnih razlik. Validacijo modela naredimo s primerjavo rezultatov z eksperimentalnimi podatki.

2. Poglavje

Model strjevanja binarne zlitine
2.1. Fazni diagram Fazni diagram je graficna predstavitev ravnovesij med fazami. V nasem primeru imamo binarno zlitino. V zlitini imamo dve kemijsko neodvisni snovi in dve fazi. S faznim pravilom1 ugotovimo, da imamo v ravnovesju dve prostostni stopnji. Predpostavili smo, da bo fazni prehod v modelu potekal pri konstantnem tlaku. Fazni diagram je v tem primeru relacija med temperaturo, kjer sta fazi v ravnovesju in koncentracijo v trdni ter kapljevinasti fazi [16]. V nasem modelu se bomo ukvarjali z realno zlitino aluminija in bakra. Podatke za izris faznega diagrama uporabljene aluminijeve zlitine dobimo iz racunalniskega programa JMat [17]. V modelu bomo zaceli strjevanje z nizkimi zacetnimi koncentracijami v kapljevinasti fazi, tako je za nas zanimivo obmocje faznega diagrama do evtekticne tocke (slika 2).

1

Gibbsovo fazno pravilo: P+F = C+2, kjer so: P stevilo faz, F stevilo prostostnih stopenj in C stevilo kemijsko neodvisnih komponent.

9

Slika 2: Fazni diagram zlitine aluminija in bakra pri konstantnem tlaku 1 bar v obmocju koncentracije bakra 0-35%. V primeru, ko je zlitina pri dani koncentraciji kapljevinasti fazi (na diagramu oznaceno z

C

nad temperaturo

Tl (C ) ,

je vsa snov v

L ).

V primeru, ko je zlitina pod temperaturo

Ts (C ) , L +

je vsa snov v trdni fazi (na diagramu oznaceno z

).

V obmocju med mejnima

temperaturama nastane zmes trdne in kapljevinaste faze (na diagramu oznaceno z ). Funkcijo

Tl (C )

imenujemo likvidus linija in funkcijo

Ts (C )

solidus linija. Solidus

liniji dodajmo se premico

T (C ) = Te , saj je vsa snov

pod temperaturo

Te

v trdni fazi.

Na diagramu je s prekinjeno modro crto oznacen fazni diagram dobljen z modelom JMat. Krivuljo likvidus lahko v nasi razpravi smiselno aproksimiramo s premico skozi tocki

(0, T f )
in

in

(Ce , Te ) .

Podobno aproksimiramo krivuljo solidus s premico skozi tocki

(0, T f )

(C e , Te ) .

S crno neprekinjeno crto je na grafu narisana linearna aproksimacija obeh

krivulj. Opazimo, da z linearno aproksimacijo smiselno opisemo fazni diagram. Omenjene aproksimacije vpeljemo, da lahko dolocene elemente modela opisemo analiticno, kar olajsa razumevanje. Likvidus in solidus liniji aproksimiramo z

Tl (C ) = T f - Ts (C ) = T f -

T f - Te Ce T f - Te C e

C = T f - kl C ,
(2.1)

k C = Tf - l C, k

10

kjer smo vpeljali delilno razmerje

k = kl / k s .

Premica

Tl

ima fizikalen pomen na intervalu

[0, Ce ]

in premica

Ts

na intervalu in

[0, C e ] .

Za zlitino aluminija in bakra sta vrednosti

parametrov

ml = 3,37 o C

k = 0,17 . Iz faznega diagrama takoj sledi Cs* = k Cl* ,
(2.2)

kjer smo z zvezdico oznacili, da gre za koncentraciji na medfaznem robu. Na faznem diagramu je z rdeco krivuljo nakazan potek faznega prehoda, ko velja vzvodno pravilo [2]. Vec o vzvodnem pravilu v poglavju (2.3). 2.2. Model kontinuumske mesanice Za opis makroskopskih kolicin izberemo reprezentativni elementarni volumen (REV) [8]. V nasem primeru, ko imamo opravka z enodimenzionalnim primerom, lahko REV razumemo kot reprezentativno elementarno razdaljo ( lR ). Znotraj REV vpeljemo povprecne vrednosti makroskopskih spremenljivk. Govorimo o mesanici trdne in kapljevinaste faze (v nadaljevanju mesanica). REV je dovolj majhen, da povprecne vrednosti se vedno predstavljajo kontinuum na makroskopskem nivoju in dovolj velik, da je povprecenje smiselno. Interakcija na medfaznem robu se dogaja na nivoju nekaj tipicnih atomskih razdalj. Red velikosti interakcije ocenimo na makroskopskem nivoju izberemo

10-9 m .

V modelu opisujemo dogajanje na

0,1 m .

Najbolj smiselno bomo zgornjemu pogoju zadostili, ce [4]. V numericni simulaciji bo REV sovpadal s tipicno

lR

reda velikosti

10-4 m

celico diskretizacijske mreze.

V nadaljevanju opisimo fiziko na makroskopskem nivoju. Obravnavajmo vsako fazo kot osnovno sestavino mesanice. Vsako sestavino mesanice obravnavajmo kot samostojen sistem. Lastnosti mesanice naj bodo neposredna posledica lastnosti sestavin [9], v nasem primeru zlitine v obeh fazah.

Vpeljimo masni delez posamezne faze

f =
kjer je

m m

;

= l, s ,

(2.3)

m

masa posamezne faze ter

m

celotna masa. Vpeljimo se volumski delez

posamezne faze

g =

V VR

,

(2.4)

11

kjer je

V

volumen posamezne faze in

VR

reprezentativni elementarni volumen (2.5)

VR = Vs + Vl .
Za masni in volumski delez velja, da mora biti vsota po obeh fazah enaka 1

g s + gl = 1 ,
Gostote posameznih faz zapisemo kot

f s + fl = 1 .

(2.6)

=

m V

.

(2.7)

S pomocjo volumskega deleza zapisimo gostoto mesanice kot vsoto delnih gostot obeh faz

= sp + lp ,
kjer smo zapisali delno gostoto faze kot
p = g .

(2.8)

(2.9)

Gostoto mesanice lahko zapisemo tudi kot

=

m VR

.

(2.10)

Iz enacb (2.3), (2.4), (2.7) in (2.10) lahko izrazimo relacijo med masnim in volumskim delezem faze

f =
Podobno vpeljemo se hitrost mesanice

g.

(2.11)

u = sp us + lp ul .

(2.12)

V modelu smo predpostavili, da se trdna faza ne more premikati, zato je prvi clen na desni strani enacbe (2.12) enak 0. V nadaljevanju se bo pogosto pojavljal produkt volumskega deleza kapljevinaste faze in hitrosti kapljevinaste faze, zato vpeljimo novo spremenljivko:

vl = g l ul .
Vpeljimo koncentracijo v mesanici

(2.13)

C = sp Cs + lp Cl .

(2.14)

Koncentracijo v mesanici lahko preberemo tudi kot gostoto topljenca v mesanici. V enacbi (2.14) smo upostevali predpostavko modela, da je kapljevinasta faza na mikroskopskem

12

nivoju dobro premesana (vec v poglavju 2.3). Manjka nam samo se entalpija mesanice. Zapisimo specificno entalpijo trdne faze

hs (T ) = c ps (T ')dT ' .
Tref

T

(2.15)

Podobno lahko zapisemo specificno entalpijo kapljevinaste faze

hl (T ) = c ps (T ')dT '+ L + c pl (T ')dT ' .
Tref Ts

Ts

T

(2.16)

Prvi clen predstavlja spremembo entalpije med segrevanjem do solidus linije, ko je se vsa snov v trdni fazi. Drugi clen predstavlja spremembo entalpije zaradi faznega prehoda in zadnji clen predstavlja spremembo entalpije zaradi segrevanja, ko je snov v kapljevinasti fazi. Referencno

Tref

postavimo na nic. Upostevajmo, da specificni toploti kapljevinaste in

trdne faze nista odvisni od temperature in enacbi (2.16) ter (2.15) integrirajmo

hl = c psTs + L + c pl (T - Ts ) ,

(2.17) (2.18)

hs = c psT .

Enako kot smo prej zapisali hitrost in koncentracijo mesanice, sedaj zapisimo specificno entalpijo mesanice

h = lp hl + sp hs = lp ( c psTs + L + c pl (T - Ts ) ) + sp c psT

,

(2.19)

Definirane imamo vse makroskopske kolicine mesanice, ki jih potrebujemo za opis ohranitvenih zakonov na makroskopskem nivoju. Zapisimo splosno obliko kontinuitetne enacbe za kolicino

v diferencialni obliki

+ (v ) = - j + Q , t
kjer je

(2.20)

j

difuzijski tok,

v

advekcijski clen in clen

Q

predstavlja izvore. Zapisimo

ohranitev parcialne gostote obeh faz

sp = Qs , t

lp + (ul lp ) = Ql . t

(2.21)

Med strjevanjem snov prehaja iz kapljevinaste faze v trdno. Prenos sestavin upostevamo v clenu

Q , ker lahko snov prehaja le iz ene faze v drugo velja Ql + Qs = 0 .
(2.22)

Enacbi (2.21) sestejmo in pridemo do ohranitve mase mesanice

13

+ ( l vl ) = 0 . t
Dobljena enacba predstavlja ohranitev koncentracije v mesanici

(2.23)

Podobno zapisimo ohranitev mase topljenca v vsaki fazi posebej in enacbi sestejmo.

C t

+ ( l vl Cl ) = 0 .

(2.24)

V enacbi (2.24) smo zanemarili masni tok zaradi gradienta koncentracije v trdni fazi. Difuzijski koeficient prenosa sestavin v trdni fazi je reda velikosti kapljevinasti fazi reda velikosti

10-12 m 2 /s

in v

10-9 m 2 /s , 10
-5

medtem ko je difuzijski koeficient za prenos

toplote v obeh fazah reda velikosti

m /s . Toplotna difuzija je neprimerljivo hitrejsa od

2

snovne, tako lahko snovno difuzijo na makroskopskem nivoju zanemarimo.

Na koncu zapisimo se kontinuitetno enacbo za ohranitev toplote. V nasem primeru, ko ne dopuscamo tlacnih razlik, lahko namesto toplote pisemo entalpijo2. Na enak nacin kot smo pri izpeljavi ohranitve gostote mesanice in koncentracije v mesanici, sesteli ohranitveni enacbi za vsako fazo posebej, naredimo to se za ohranitev entalpije in dobimo

h t
mesanice

+ ( l hl vl ) = - F = ( T ) .

(2.25)

V enacbi (2.25) spoznamo difuzijsko enacbo, kjer smo vpeljali se eno novo kolicino

= gl l + g s s ,
Fourierejevo konstitucijsko zvezo za toplotni tok

(2.26)

ki jo imenujemo toplotna prevodnost mesanice. Pri zapisu enacbe smo upostevali

F = - T .

(2.27)

Enacbe (2.23), (2.24) in (2.25) opisujejo makroskopski nivo. V nastetih treh enacbah nastopajo stiri neznanke:

g , Cl , Cs

in

T.

Entalpije nismo steli med neznanke, saj

podaja relacijo med entalpijo in temperaturo enacba (2.19). Manjkajoco enacbo, ki sistem sklopi, dobimo z opisom prenosa sestavin na medfaznem robu v naslednjem poglavju.

2

dH = dQ + Vdp , kjer je dp = 0

tako je dQ = dH .

14

2.3. Prenos sestavin na medfaznem robu V poglavju (2.2) smo vpeljali kolicine mesanice in za njih napisali ohranitvene enacbe. Manjka nam se opis faznega prehoda na mikroskopskem nivoju. Privzemimo, da strjujemo zaprt sistem. Tako v sistem ne priteka in ne odteka snov. Prenos sestavin na medfaznem robu opisemo z enacbo (2.2). Pri koncentraciji v kapljevinasti fazi lahko zvezdico opustimo, saj v modelu predpostavimo, da je kapljevinasta faza na mikroskopskem nivoju dobro premesana ( Cl
*

Cl ).

Za razliko od koncentracije v kapljevinasti fazi dopustimo

krajevno odvisnost koncentracije v trdni fazi. Pojav imenujemo mikroizcejanje [18]. Podobno kot smo za koncentracijo v kapljevinasti fazi predpostavili, da je na

mikroskopskem nivoju konstantna, ocenimo se porazdelitev temperature in specificne entalpije mesanice. Z enakim argumentom, kot smo v poglavju (2.2) zanemarili snovno difuzijo na makroskopskem nivoju, sedaj predpostavimo, da sta specificna entalpija in temperatura na mikroskopskem nivoju konstantni.

Pri dovolj pocasnih faznih spremembah ( Ds t f

>> L2 ,

kjer je

tf

karakteristicni cas

strjevanja) snovna difuzija poskrbi, da je koncentracija tudi v trdni fazi konstantna. Privzemimo, da imamo pred strjevanjem snov v kapljevinasti fazi z zacetno koncentracijo

C0

in zacnemo pocasi nizati temperaturo.

Ko temperatura doseze

TL (C0 )

se zacnejo formirati prvi zametki trdne faze. Iz enacbe

(2.2) sledi, da je koncentracija v novo nastali trdni faze nizja od zacetne koncentracije v kapljevinasti fazi. Razlika se sprosti v kapljevinasto fazo. Z nadaljnjim nizanjem temperature koncentracija v obeh fazah narasca. Fazni prehod je dovolj pocasen, da se sprememba koncentracije v trdni fazi enakomerno porazdeli po celotni trdni fazi. Tako lahko v enacbi (2.2) opustimo zvezdico tudi za koncentracijo v trdni fazi, saj je neodvisna od kraja. Imamo zaprt sistem, veljati mora ohranitev koncentracije. Velja pravilo

C0 = f s Cs + f l Cl ,

(2.28)

Pravilo (2.28) se pogosto imenuje vzvodno pravilo (slika 3). Drug limitni primer predstavlja fazni prehod brez snovne difuzije v trdni fazi ( Ds t f

<< L2 ). Razmislek zacnemo
C0 ,
ki

podobno kot prej. Na zacetku imejmo le kapljevinasto fazo z zacetno koncentracijo

jo zacnemo ohlajati. Med strjevanjem v kapljevinasti fazi koncentracija narasca. Vsak nov delec trdne faze nastane s koncentracijo podano z enacbo (2.2) in ker v trdni fazi ni snovne difuzije, to koncentracijo tudi obdrzi. Zapisemo ohranitev mase topljenca na medfaznem robu

15

(Cl - Cs* )df s = (1 - f s )dCl .

(2.29)

Na levi strani enacbe smo zapisali spremembo koncentracije zaradi strjevanja. Na desni smo izrazili spremembo koncentracije v kapljevinasti fazi. Ker imamo zaprt sistem, morata biti oba prispevka enaka. Upostevamo se enacbo (2.2) in po integraciji dobimo rezultat

Cl = C0 (1 - f s )( k -1) .
Enacba (2.30) je znana tudi kot Scheilovo pravilo (slika 3).

(2.30)

Slika 3: Koncentracija v trdni in kapljevinasti fazi na mikroskopskem nivoju. Levo Scheilova resitev in desno vzvodno pravilo. V obeh primerih sta narisani porazdelitvi za dva razlicna deleza trdne faze. Do sedaj smo opisali dva limitna primera. Oglejmo si se bolj splosen primer, ko imamo v trdni fazi koncno hitro difuzijo ( 0 < t f Ds

/ L2 < ).

Posploseni model mora zadoscati do

sedaj opisanima limitnima primeroma in snovni difuzijski enacbi

Cs = Ds 2Cs . t
Zapisimo model [7]
1- k 1 Cl k -1 1- fs = 1 - k C0

(2.31)

.

(2.32)

Izpeljava modela (2.32) je narejena v prilogi B. Novo vpeljani parameter snovno difuzijo v trdni fazi. Interval parametra je [0,1]. Vrednost neskoncno hitro difuzijo v trdni fazi in vrednost

karakterizira predstavlja

=1

=0

predstavlja model, kjer v trdni fazi

ni difuzije. Hitro se lahko prepricamo, ce v enacbo (2.32) vstavimo vzvodno pravilo in Scheilovo pravilo, ce vstavimo

= 1,

dobimo

= 0.

16

Enacba (2.32) nam podaja manjkajoco relacijo med delezem strjene snovi in koncentracije v kapljevinasti fazi. S tem je sistem enacb na makroskopskem nivoju (enacbe (2.23), (2.24) in (2.25)) zaprt.

3. Poglavje

Numericno resevanje modela
3.1. Shema numericnega resevanja V prejsnjem poglavju smo opredelili problem in zapisali sistem enacb, ki bi ga radi resili. Iscemo odvisnost makroskopskih kolicin mesanice v odvisnosti od kraja in casa. Na makroskopskem nivoju resujemo enacbe (2.23), (2.24) in (2.25). Z enacbo (2.32) sklopimo makroskopski nivo z mikroskopskim opisom prenosa snovi na medfaznem robu.

Pri racunanju krajevnega dela enacb bomo uporabili dve metodi: kolokacijo z radialnimi baznimi funkcijami in metodo koncnih razlik. Slednja metoda je stara ze vec kot 50 let in dobro uveljavljena, medtem ko brezmrezna metoda nova in ima velike potenciale pri resevanju problemov v vec dimenzijah z neuniformno porazdelitvijo diskretizacijskih tock. V tem delu se omejimo na uniformno porazdelitev diskretizacijskih tock. Podrocje razdelimo na ekvidistancno mrezo

Nx

tock s korakom

x .

Poljubno spremenljivko diskretiziramo in jo splosno zapisemo kot
r

( xi , t j ) = r ij , r ( xi ±1 , t j +1 ) = r ij±+11 ,
i

(3.1)

kjer z

j

oznacimo casovni in z

krajevni indeks. V nadaljevanju bomo uporabili iteracijo,

v ta namen smo ze sedaj vpeljali indeks nastopajo v iteraciji.

r.

Iteracijski indeks pisimo le pri kolicinah, ki

Shemo razdelimo na dva glavna dela. V prvem delu sheme izracunamo naslednji casovni korak makroskopskih kolicin mesanice s pomocjo enacb (2.23), (2.24) in (2.25). V drugem delu sheme izracunamo spremembo mikroskopskih kolicin. V zadnjem koraku numericne sheme izracunamo hitrost sheme (slika 4).

vl .

Ta korak obravnavamo v sklopu prvega dela

Najprej opisimo drugi del numericne sheme. Za izracun dinamike faznega prehoda ni pomembno, kako smo prisli do vrednosti specificne entalpije in koncentracije v mesanici. Pri racunanju casovnega razvoja pa bomo uporabili dve razlicni metodi in pri obeh 17

metodah bo drugi del sheme, opisan v nadaljevanju, enak. Zato je bolj pregledno, ce najprej razjasnimo drugi del in nato prvi del numericne sheme.

Slika 4: Shema poteka numericnega racunanja modela. 3.2. Izracun mikroskopskih kolicin Iz prvega dela sheme dobimo novo krajevno porazdelitev specificne entalpije koncentracije v mesanici

h

j +1 i

in

C

j +1 i

. Sedaj moramo za vsako tocko posebej dolociti volumski

delez in koncentracijo v obeh fazah ter temperaturo.

Preden obravnavamo algoritem iteracije, je smiselno pogledati, zakaj jo potrebujemo. Ponovno zapisimo enacbe, s katerimi opisemo dogajanje na medfaznem robu. Upostevati moramo fazni diagram (2.2). Volumski delez faze izrazimo iz enacbe za entalpijo mesanice (2.19). In nazadnje se odvisnost volumskega deleza trdne faze od koncentracije v kapljevinasti fazi (2.32). Enacbo (2.32) smo izpeljali pri predpostavkah, da ni

makroskopskega prenosa snovi in da sta gostoti trdne ter kapljevinaste faze enaki. Predpostavki v nasem modelu nista izpolnjeni, vendar je za potrebe nadaljnjega razmisljanja enacba (2.32) dovolj tocna. Zapisimo enacbo (2.32) bolj splosno

g s = a1 + a2C , l
kjer so

(3.2)

a1 , a2

in

realni koeficienti. Zapisimo se vrednost koeficienta

(3.3)

=

(1 - k ) . (k - 1)

Uporabimo enacbi (3.2) in (2.1) ter prepisimo enacbo v splosno obliko

h = b1Cl +1 + b2Cl + b3Cl + b4 ,

(3.4)

18

kjer so

b1 , b2 , b3

in

b4

realni koeficienti. V primeru vzvodnega pravila (

= 1 ),

postane

(3.4) kvadratna enacba in je sistem enacb (2.1), (2.19) ter (2.32) analiticno resljiv. V splosnem primeru pa sistem ni analiticno resljiv. Razmisljanje posplosimo na primer, ko imamo tudi makroskopski prenos snovi in ko gostoti trdne ter kapljevinaste faze nista vec enaki. Sistem enacb (2.1), (2.19) ter (2.32) v splosnem primeru resimo iterativno [8].

Preden zacnemo z iteracijo preverimo, ce se tocka, v kateri racunamo iskane vrednosti, nahaja v kasastem obmocju. Pogledamo staro vrednost volumskega deleza trdne faze. Ce velja
j g si = 1 ,

(3.5)

potem je snov ze popolnoma strjena in lahko takoj dolocimo vse iskane vrednosti
j +1

Ti

h i C i j j = , g si+1 = 1 , Csi+1 = s c ps s

j +1

j +1

, Clij +1 = 0 .

(3.6)

V nadaljevanju preverimo, ce je tocka v obmocju, kjer trdna faza se ne more nastati. Zapisimo oceno koncentracije v kapljevinasti fazi

C
Vrednost

j +1 i

- C

j i

= l glij (C * - Clij ) .

(3.7)

C*

predstavlja koncentracijo v kapljevinasti fazi, ce ne bi bilo faznega prehoda.

Z drugimi besedami, vsa sprememba koncentracije v mesanici se zgodi na racun spremembe koncentracije v kapljevinasti fazi. Z oceno koncentracije v kapljevinasti fazi

C*

lahko iz faznega diagrama ocenimo temperaturo, pri kateri zacnejo nastajati prvi

zametki trdne faze. Uporabimo enacbi (2.1) in (3.7) ter zapisemo

T * = T f - mC * .

(3.8)

Sedaj lahko ocenimo, ce v dani tocki lahko nastane trdna faza. V primeru, da velja pogoj

h

j +1 i

> l L + l ( c psTs + cl (T * - Ts ) ) ,

(3.9)

se trdna faza se ne more oblikovati in takoj lahko dolocimo vse iskane vrednosti. Tocka se nahaja v obmocju, kjer je vsa snov v kapljevinasti fazi
j +1

Ti

h i - L C i j = , g si+1 = 0 , Clij +1 = l c pl l

j +1

j +1

, Csij +1 = 0 .

(3.10)

V primeru, ko nista izpolnjena pogoja (3.5) in (3.9) se tocka nahaja v kasastem obmocju, je potrebno, kot smo prej pokazali, iskane vrednosti dolociti iterativno.

19

Za prvi priblizek temperature in volumskega deleza kapljevinaste faze vzamemo vrednosti pred zacetkom faznega prehoda
r =1

Ti j +1 = Ti j ,

r =1

g jj +1 = gij .

(3.11)

Iz enacbe (2.19) izrazimo volumski delez kapljevinaste faze
r

g =

h

j +1 i

l ( c psTs + c pl ( rTi j +1 - Ts ) + L ) - s c ps rTi j +1

- s c ps rTi j +1

.

(3.12)

Popravek

r

g

nam pove, kaksen bi bil volumski delez kapljevinaste faze, ce le ta ne bi bil

odvisen od koncentracije v kapljevinasti fazi. Popravek pristejemo k vrednosti volumskega deleza kapljevinaste faze v prejsnjem koraku iteracije
r +1

glij +1 = r g lij +1 + (1 - ) r g .

(3.13)

Izkaze se, da v vseh nadaljnjih analizah metoda konvergira pri izbiri relaksacijskega koeficienta

= 0,5 .

V naslednjem koraku upostevamo mikroskopski prenos snovi na

medfaznem robu. Zapisimo ohranitev koncentracije v mesanici (poglavje 2.3)

d C = d ( g s s Cs + gl l Cl ) = ( g s ( s k - l ) + l ) dCl - Cl ( l - k s )dg s .
Spremenljivke diskretiziramo na sledec nacin
j j j dg si r g si+1 - g si , dCli r Clij +1 - Clij , g s g si , Cl Clij .

(3.14)

(3.15)

Z enacbama (3.14) in (3.15) lahko zapisemo novo vrednost koncentracije v kapljevinasti fazi
r j +1 li

C

=C +
j li

C

j +1 i

- C

j i

j j + Clij ( l - k s ) ( r g si+1 - g si )

g sj ( s k - l ) + l

.

(3.16)

Ko imamo oceno koncentracije v kapljevinasti fazi, lahko iz faznega diagrama ocenimo temperaturo
r

Ti j +1 = T f - m r Clij +1 .

(3.17)

Na koncu le se preverimo, ce je potrebno narediti se en korak iteracije. Iteracijo zakljucimo, ce je vrednost
r

g r < r j +1 g li

,

(3.18)

kjer je

zahtevana natancnost. Prav tako zakljucimo iteracijo, ce

r

g si

doseze vrednost 1.

20

Izkaze se, da je pri podatkih, za Al-Cu zlitino uporabljeno v tej nalogi, potrebno narediti 3 - 7 iteracij, za veljavnost pogoja (3.18) pri 3.3. Izracun makroskopskih kolicin V poglavju (3.2) smo pripravili iteracijo, ki v posamezni tocki izracuna spremembo mikroskopskih kolicin. Predpostavili smo, da imamo izracunane vrednosti specificne entalpije in koncentracije v mesanici v novem casovnem koraku. Sedaj je potrebno zapisati se postopek za izracun naslednjega casovnega koraka teh dveh makroskopskih kolicin. Poleg specificne entalpije in koncentracije v mesanici moramo upostevati se ohranitev mase mesanice in tako izracunati

= 10 -7 .

vl .

Za izracun hitrosti moramo poznati

spremembo volumskega deleza kapljevinaste faze. Tako kronolosko gledano izracun hitrosti sledi izracunu kolicin na mikroskopskem nivoju.

Podani imamo zacetno porazdelitev temperature in zacetno koncentracijo v kapljevinasti fazi

Ti1 = T0 ,
1 Cli = Cl 0 , 1 Csi = 0, 1 g li = 1;

i [2, N x - 1] .

(3.19)

V modelu smo predpostavili, da je zacetna temperatura nad temperaturo, kjer je vsa snov pri dani koncentraciji v kapljevinasti fazi. Na levem robu ( i

=1)

obmocje drzimo pri

konstantni temperaturi, ki je nizja od temperature, kjer je vsa snov v trdni fazi, tako imamo na zacetku eno tocko ze v trdni fazi. Iz levega roba ne dopustimo toka, tako je na robu

vl1 = 0 . Zapisimo prvi robni pogoj v celoti
j T1 j = T1 , Cl1 = 0 ,

C

j s1

= Cs 0 , glj1 = 0 , vl1 = 0 ,

(3.20)

kjer indeks

j

tece po vseh casovnih korakih. Na drugem koncu palico drzimo na

konstantni temperaturi, ki je visja od temperature, kjer je vsa snov v kapljevinasti fazi. Zapisimo drugi robni pogoj v celoti
j TNjx = T2 , ClN x = Cl 0 ,

C

j sN x

j = 0 , glN x = 1 .

(3.21)

Na makroskopskem nivoju resujemo sistem treh enacb (2.23), (2.24) in (2.25). Casovni odvod poljubne kolicine zapisemo s koncnimi razlikami

ij ij +1 - ij = + O (t ) , t t

(3.22)

21

kjer je

t

casovni korak in

O (t )

red napake. Uporabimo casovno eksplicitno shemo

[14]. Za izracun makroskopskih enacb uporabimo izracun (

2Ns +1

vrednosti iz

j.

koraka za

j + 1 ). koraka ( [ji - Ns ,i + N s ] ij +1 ) (slika 5), kjer je 2 N s + 1

velikost podobmocja.

Slika 5: Eksplicitna shema za izracun novega casovnega koraka poljubne kolicine. Najbolj preprost primer sheme je uporaba koncnih razlik na ekvidistancni mrezi. Priblizek za prvi casovni odvod smo ze zapisali z enacbo (3.22), kjer smo zapisali odvod z enostransko razliko. Pri krajevnem odvodu zapisimo raje priblizek s centralno razliko, ki ima red napake enak kot priblizek za drugi odvod po kraju

ij ij+1 - ij-1 = + O ( x 2 ) . x 2x
Zapisimo se priblizek za drugi odvod po kraju

(3.23)

2 ij ij+1 - 2ij + ij-1 = + O( x 2 ) . x 2 x 2
Iz enacbe (3.24) vidimo, da je za tak primer stevilo

(3.24)

Ns = 1 .

Z uporabo priblizkov za prvi

(3.23) in drugi odvod (3.24) po kraju ter priblizkom za prvi odvod po casu (3.22) lahko enacbe (2.23), (2.24) in (2.25) zapisemo v diskretizirani obliki

h

j +1 i

= h i +

j

j i

t t T j - 2Ti j + Ti -j1 ) + 2 ( i +1 4x 2 x

(

j i +1

-

j i -1

) (T

j i +1

- Ti -j1 ) ...
(3.25)

t ... - l ( hi+j 1l vlij+1 - hi-j 1l vlij-1 ) + O(t , x 2 ), 2 x

C
in

j +1 i

= C

j i

- l

t ( vij+1clij+1 - vij-1clij-1 ) + O(t , x 2 ), 2x

(3.26)

vij = vij-1 -

1 x l t

(

j +1 i

-

j i

) + O(t, x) .

(3.27)

Z dobljenimi enacbami lahko izracunamo nov casovni korak specificne entalpije in koncentracije v mesanici. Nato z iteracijo dolocimo volumski delez in koncentracijo v

22

kapljevinasti fazi ter temperaturo. V zadnjem koraku izracunamo vrednost nared za implementacijo.

j v ji+1 .

Shema je

Pozornost je potrebna pri izbiri casovnega in krajevnega koraka. Eksplicitna shema je pogojno stabilna. Pogoj za stabilnost sheme podajata dva kriterija in sicer posebej za difuzijski in konvekcijski clen. Kriterija lahko hitro izpeljemo z uporabo Von Neumannove metode [11]. Pri numericni implementaciji poskrbimo, da sta oba kriterija izpolnjena. Kriterija sta

D
kjer je

t 1 x 2 2

in

vl

t 1, x

(3.28)

D

difuzijski koeficient za prenos toplote. Poleg kriterijev za stabilnost casovne

sheme moramo paziti se na stabilnost metode koncnih razlik pri racunanju konvekcijsko difuzijskih problemov [14]

vl x = Pex < 2 , D
kjer je

(3.29)

Pex

mrezno Pécléjevo stevilo in predstavlja razmerje med konvekcijo in difuzijo.

3.4. Osnove brezmrezne metode Parcialna diferencialna enacba v splosni obliki se glasi [12]

F( f ) + b = 0 ,
kjer je

(3.30)

F

parcialni diferencialni operator in

f

eksaktna resitev. Zapisimo resitev z

razvojem v vrsto

f h ( x) = n Rn ( x) ,
n =1

N

(3.31)

kjer so

Rn ( x )

bazne funkcije in

n

koeficienti razvoja. Zahtevajmo, da enacba (3.31) resi

enacbo (3.30) le v izbranih diskretnih tockah. Pri vsoti (3.31) upostevajmo enako stevilo clenov, kot imamo tock v katerih je

fh

enaka

f

. V takem primeru dobimo sistem enacb z

enakim stevilom neznank (koeficientov razvoja) kot enacb. Ce je sistem resljiv, lahko izracunamo koeficiente

n

in s tem razvoj funkcije (3.31). Postopek se imenuje

kolokacijska metoda. Izbrane diskretne tocke imenujmo podobmocje problema. V nalogi bomo uporabili radialne baze funkcije (RBF). Zapisimo obliko RBF, ki jih bomo uporabili [10] (slika 6)

23

Rn ( xm ) = ( xm - xn ) 2 + C 2

.

(3.32)

C

predstavlja oblikovni parameter. Oblikovni parameter skaliramo z najvecjo razdaljo

med sosednjima tockama v podobmocju

C = C max( xm - xn ) ,
kjer je

(3.33)

C

konstanta. Konstanta

C

je parameter numericne metode.

Slika 6: Radialne bazne funkcije za razlicne parametre Zapisimo razvoj poljubne funkcije

C.

f h ( x)

z uporabo RBF v
N

N

tockah

f h ( xm ) = n Rn ( xm ) ,
n =1

(3.34)

oziroma v vektorski obliki

f h = R ,
kjer je in

(3.35)

fh

vektor vrednosti funkcije v tockah podobmocja,

vektor koeficientov razvoja

R

matrika z elementi

R mn = Rn ( xm ) = ( xm - xn ) 2 + C 2
Oba vektorja sta dimenzije

.

(3.36) V primeru, ko tocke v

N

in matrika je dimenzije

N×N .

podobmocju ne sovpadajo in oblikovni parameter ni prevelik, je matrika

R

regularna. V

takem primeru lahko pomnozimo enacbo (3.35) z leve strani z inverzno matriko Dobljeno enacbo izracunamo in zapisemo razvoj funkcije

R -1 .

fh .

Parcialne diferencialne

enacbe, ki opisujejo nas model, so drugega reda. V nadaljevanju tako potrebujemo se prvi in drugi krajevni odvod

24

N f h N R ( x ) , = n Rn ( x ) = n n x x n =1 x n =1

(3.37)

2 fh 2 = x 2 x 2

R (x ) =
n n n =1 n =1

N

N

n

R 2 n ( x ) , x 2

(3.38)

kjer smo uporabili prvi in drugi krajevni odvod RBF

Rn ( x ) x - xn = x ( x - xn ) 2 + C 2

(

)

1/ 2

,
(3.39)

2 Rn ( x ) C2 = x 2 ( x - xn )2 + C 2

(

)

3/ 2

.

Z enacbami (3.32), (3.33), (3.34), (3.37) in (3.38) lahko izracunamo razvoj poljubne funkcije ter njen prvi in drugi odvod (slika 7).

V limitnem primeru, ko je oblikovni parameter dovolj velik, da lahko RBF razvijemo v Taylorjevo vrsto, se RBF razvijejo v polinome. V takem primeru in ko velja

Ns = 1

ter je

mreza ekvidistancna opisana brezmrezna metoda konvergira k metodi koncnih razlik.

Prva pomembna razlika med brezmrezno metodo in metodo koncnih razlik je v izracunu odvodov funkcije. Pri brezmrezni metodi zlahka izracunamo poljuben odvod, medtem ko je pri metodi koncnih razlik izraz za vsak odvod potrebno izpeljati iz Taylorjeve vrste. Podobno je tudi pri izbiri stevila tock v podobmocju. Pri koncnih razlikah uporabimo centralni razliki za prvi in drugi odvod. V obeh primerih uporabimo podobmocje treh tock. Lahko bi uporabili priblizke odvodov, ki upostevajo vec tock, vendar je za spremembo velikosti podobmocja potrebno spremeniti obliko enacb. Pri uporabi brezmrezne metode to ni vec potrebno. Druga pomembna razlika je pri postavitvi tock. Pri brezmrezni metodi nismo vec omejeni na ekvidistancno mrezo. Izbira tock podobmocja je poljubna. Omenjena prednost pride do izraza pri modelih z vecdimenzionalnimi neuniformnimi diskretizacijskimi mrezami.

25

Slika 7: Primer razvoja funkcije z uporabo RBF. Razvijamo npr. oblikovnim parametrom

sin( x)

po RBF z

C = 3,9

na podobmocju 71 neuniformno porazdeljenih tock.

3.5. Izracun makroskopskih kolicin z brezmrezno metodo Za izracun prvega dela sheme uporabimo poleg metode koncnih razlik tudi brezmrezno metodo. Uporabimo kolokacijo na omejenem stevilu tock in nato iz odvodov napovemo naslednji casovni korak. Enako kot v poglavju (3.3) problem resujemo z eksplicitno shemo. Casovni odvod izrazimo z enacbo (3.22). Za izracun naslednjega casovnega koraka razvijemo stanje v starem casovnem koraku po RBF. Z enacbama (3.37) in (3.38) izrazimo prvi in drugi odvod po kraju ter nazadnje iz enacb modela izracunamo nov casovni korak. Postopek ponovimo za vsako tocko

xi ,

kjer indeks

i

tece po vseh tockah

obmocja. Pri razvoju uporabimo podobmocje velikosti

2 N s + 1 , ki

je simetricno okoli tocke

xi , v kateri racunamo spremembo. V primeru, ko bi simetricno podobmocje segalo cez rob
obmocja, naj bo podobmocje prvih Oznacimo z indeksom

2Ns +1 ,

tock od roba vkljucno z robno tocko.

m

zgornjo mejo in z indeksom

m

spodnjo mejo podobmocja. Pri
j i

resevanju enacbe (2.25) potrebujemo razvoja pa razvoj

Ti j

in

hl vl

, pri resevanju enacbe (2.24)

cl vl

j i

. V vseh tockah podobmocja poznamo vrednosti vseh treh kolicin3.

Uporabimo enako podobmocje za razvoj vseh treh funkcij4, tako za izracun koeficientov

3 4

V prvem koraku kot zacetni pogoj in v ostalih korakih kot stari casovni korak. Ni nujno, da uporabimo enako diskretizacijsko mrezo pri izracunu razlicnih kolicin. Lahko bi izboljsali numericno stabilnost in natancnost, ce bi za vsako kolicino racunali dinamicne enacbe na lastni diskretizacijski mrezi. Metoda postane bolj uporabna, ko nimamo vec staticne mreze, temvec jo s casom spreminjamo (adaptacija mreze). V nasem modelu imamo casovno neodvisno diskretizacijo.

26

razvoja uporabimo isto matriko makroskopskih kolicin. Indeksa

R.
m

S pomocjo enacb (3.34) in (3.36) poiscemo razvoj

in

n

opisujeta vse tocke podobmocja;

m [ m, m ]

in

n [m, m] . Zapisimo vektorje koeficientov razvoja

1 = R -1T j , 1b = R -1 , 2 = R -1 hl vl
kjer so:

j

j

, 3 = R -1 Cl vl

j

,

(3.40)

j Tmj m j T = ... , = ... , hl vl T j j m m
j

j

hv ll = ... hl vl

m

, Cl vl j m
j

j

Cv ll = ... Cl vl

m

. j m
j

(3.41)

Preostalo nam je zapisati le se koncne enacbe za izracun naslednjega casovnega koraka specificne entalpije in koncentracije v mesanici

h

j +1 i

= h i + t ... - t l 2
n=m m

j

j i

n=m

1

m

m 2 Rn ( xi ) R ( x ) m R ( x ) + t 1 n i 1b n i ... 2 x x n = m x n=m

Rn ( xi ) x

(3.42)

in

C

j +1 i

= C

j i

- l t 3
n=m

m

Rn ( xi ) , x

(3.43)

kjer smo zaradi lepsega zapisa vpeljali pomozen indeks

= n - i + N s + 1 5.

Nekoliko se zaplete pri izracunu produkta hitrosti in volumskega deleza kapljevinaste faze. Hitrost izracunamo iz casovnega odvoda gostote v dani tocki. Velja kontinuitetna enacba (2.23). Problem je ravno obrnjen kot pri izracunu enacb (2.24) in (2.25). Tehnicno gledano ne iscemo vec casovnega odvoda v odvisnosti od krajevnega, temvec ravno obratno. Poznamo casovni odvod gostote v vsaki tocki podobmocja. Radi bi izracunali hitrost. V kontinuitetni enacbi nastopa krajevni odvod hitrosti. Poizkus, da bi razvili odvod funkcije se izjalovi, ko zapisemo matriko (3.4)

R

z uporabo odvodov RBF definiranih v poglavju

5

Indeks pri koeficientih razvoja mora teci med 1 in

2 N s + 1 , medtem ko vsoto sestevamo na intervalu

med spodnjo in zgornjo mejo podobmocja.

27

... x1 - xn ... x1 - xNl 0 ... ... 1 x -x ... xm - xNl R= m 1 ( xm - xn ) 2 + C 2 ... ... xN - x1 ... xN - xn 0 l l
vl / x

.

(3.44)

Vidimo, da je matrika antisimetricna z niclami na diagonali, zato je singularna. Tako raje razvijemo funkcijo

4 = R -1
kjer je

t

j

,

(3.45)

t

j

1 = t

... . j +1 j - m m
j +1 m

-

j

m

(3.46)

Podobno, kot smo opisali odvode razvite funkcije, sedaj zapisimo nedoloceni integral razvoja. Nedoloceno integrirajmo RBF

I nRBF ( xi ) =

( xi - xn ) 2 + C 2 dxi =

1 2 C ln ( xi - xn ) + ( xi - xn ) 2 + C 2 ... 2 ... + ( xi - xn ) ( xi - xn )2 + C 2 + ,

(

)

(3.47)

kjer je

integracijska konstanta. Uporabimo koeficiente razvoja (3.45) in integral bazne (3.47) za zapis do konstante natancno dolocene hitrosti

funkcije

I nRBF ( xi )

vlij +1 = - I nRBF ( xi ) 4 + .
n=m

m

(3.48)

Konstanto cas enaka tocko

dolocimo iz robnih pogojev. Vemo, da je hitrost na levem robu obmocja ves

vl1 = 0 . Za prvi izracun hitrosti je potrebno podobmocje izbrati tako, da vsebuje
dolocimo iz enacbe

x1 , kjer poznamo vrednost. Konstanto
m

= I nRBF ( x1 ) 4
n=m

.

(3.49)

V nadaljnjih tockah poskrbimo, da podobmocje v katerem racunamo hitrost, vsebuje vsaj eno tocko, kjer hitrost ze poznamo. Tako lahko v vsakem koraku dolocimo konstanto

.

28

3.6. Verifikacija numericnih rezultatov Opisali smo dve numericni metodi za izracun fizikalnega modela, metodo koncnih razlik in brezmrezno metodo. Zanima nas obnasanje obeh metod pri razlicnih numericnih parametrih. Rezultate numericnega izracuna primerjajmo z analiticno resitvijo

Stefanovega problema. Stefanov problem opisuje strjevanje ciste snovi na poltraku. Za tak primer obstaja analiticna resitev. Pot do nje je podrobno opisana v prilogi A. Za analizo metod vpeljimo brezdimenzijske kolicine

=

x , l

µ=

ks 2 T t , = l s c ps Tm

(3.50)

in vse konstante razen talilne toplote postavimo na 1. Analizo naredimo za razlicne latentne toplote, oziroma za razlicna Stefanova stevila. Kjer Stefanovo stevilo definiramo kot [19]6

Ste=
Robni pogoji in zacetno stanje so

(T f - T1 )c p

L

.

(3.51)

j 1j = 0 , N x = 1, 2 , i0 = 1, 2 .

(3.52)

Pri metodi koncnih razlik smo uporabili aproksimaciji prvega in drugega odvoda na podobmocju treh ekvidistancnih tock, tako omejimo tudi analizo brezmrezne metode na tako podobmocje. Vpeljimo relativno napako racunskega postopka v tocki

xi

kot

erri =
kjer smo s

inum - iana iana

,

(3.53)

inum

oznacili rezultat numericnega modela in

iana

analiticno izracunano

brezdimenzijsko temperaturo. Vpeljimo povprecno vrednost napake na celotnem obmocju:

avg =

1 Nx erri N x - 1 i =2

(3.54)

Pri obeh metodah nastopata numericna parametra raje vpeljimo parameter

Nx

in

µ .

Namesto casovnega koraka

Stefanovo stevilo lahko definiramo na vec nacinov. Najbolj splosna definicija je razmerje obcutene toplote na celem obmocju in latentne toplote. Zaradi konsistence z izpeljavo analiticne resitve (priloga A) Stefanovega problema bomo uporabili razmerje obcutene toplote do tocke faznega prehoda in latentne toplote.

6

29

p=

µ 2

,

(3.55)

s katerim karakteriziramo stabilnost eksplicitne sheme. Brezmrezna metoda vsebuje dodatni prosti parameter

C,

ki ga metoda koncnih razlik nima. Oglejmo si napako

brezmrezne metode v odvisnosti od parametra

C

in jo primerjajmo z napako metode

koncnih razlik (slika 8). Povprecna napaka obeh metod raste z latentno toploto. Napaka brezmrezne metode se z vecanjem parametra Zanimivo obnasanje opazimo pri

C

priblizuje napaki metode koncnih razlik. minimum. V

Ste = 2

in

Ste = 1 , kjer ima funkcija avg(C )

minimumu z brezmrezno metodo dosezemo malenkost boljse rezultate kot z metodo koncnih razlik. Izkaze se, da je polozaj minimuma odvisen od ostalih parametrov numericne metode. Ce bi hoteli izkoristiti opazeno prednost, bi morali pri vsaki spremembi ostalih numericnih parametrov iskati vrednost oblikovnega parametra, kjer ima napaka minimum. Parameter numericno obrnljiva.

C

je navzgor omejen z najvecjo vrednostjo, kjer je matrika

R

se

Slika 8: Povprecna napaka brezmrezne metode (BMM) in metode koncnih razlik (MKR) v odvisnosti od oblikovnega parametra C za razlicne Ste pri N x = 50 , p = 0, 4 in

µ = 0, 005 .
Zanima nas tudi obnasanje napake v odvisnosti od stevila diskretizacijskih tock (slika 9).

30

Slika 9: Odvisnost povprecne napake obeh metod (levo) in razlike napak obeh metod (desno) za razlicne Ste v odvisnosti od N x pri p = 0, 4 , µ = 0, 001 in C = 500 . Opazimo pricakovano padanje napake z vecanjem stevila tock. Napaki obeh metod skoraj sovpadata. Pojav je pricakovan, saj vemo, da uporabljena brezmrezna metoda v limiti ekvidistancne mreze in dovolj velikega parametra Napaka ima pri

C

konvergira k metodi koncnih razlik.

L>0

periodicne skoke. Izkaze se, da je napaka najvecja v primeru, ko se

tocka faznega prehoda ujema z diskretizacijsko tocko. V tocki prehoda temperatura nima zveznega odvoda (Stefanov robni pogoj ­ priloga A). Skok napake pada z zgoscevanjem diskretizacijskih tock. Podobno napaka pada s krajsanjem casovnega koraka (slika 10). Oglejmo si napako v odvisnosti od kraja pri dveh napaka lokalni minimum ter pri

Nx

in sicer pri

Nx ,

kjer ima povprecna

Nx ,

kjer ima povprecna napaka lokalni maksimum (slika

10). Opazimo, da je napaka v primeru, ko se racunska tocka pokriva s polozajem medfaznega roba precej vecja kot v primeru, ko je medfazni rob med dvema racunskima tockama.

Slika 10: Odvisnost napake BMM od polozaja (levo) in odvisnost napake od parametra p (desno).

31

Do najvecje racunske napake pride ravno v okolici faznega prehoda. Nastalo tezavo lahko resimo tako, da razsirimo obmocje strjevanja na nekaj tock. To dosezemo tako, da entalpijo v okolici faznega prehoda opisemo z zvezno funkcijo. Z omenjenim trikom lahko nekoliko izboljsamo rezultat, vendar je potrebna pozornost. Ce namrec cono strjevanja prevec razsirimo, ne resujemo vec istega problema [13]. V modelu strjevanja binarne zlitine ta tezava ne pride tako do izraza, saj se fazni prehod razteza cez sirse obmocje (kasasto obmocje).

Mozna izboljsava numericnega izracuna je uporaba dinamicne krajevne in casovne mreze z uporabo brezmrezne metode. V okolici faznega prehoda je potrebno zgoscevati tocke in krajsati casovni korak. Potrebno je vpeljati primeren algoritem testiranja mreze, po vsakem casovnem koraku generirati novo krajevno mrezo in s pomocjo kolokacije izracunati temperaturo in entalpijo v novih tockah. Iz gostote mreze lahko ocenimo optimalno vrednost parametra

p.

Glavna slabost uporabe brezmrezne metode v

primerjavi s klasicno metodo koncnih razlik je poraba procesorskega casa. V povprecju porabimo za enak izracun enodimenzionalnega problema na uniformni diskretizacijski mrezi z brezmrezno metodo 25 krat vec casa kot z metodo koncnih razlik.

4. Poglavje

Rezultati numericne integracije
4.1. Nastavitve modela V prejsnjem poglavju smo pripravili vse potrebno za implementacijo algoritma v programski jezik. Algoritem implementiramo s programskim paketom Matlab. V

nadaljevanju si oglejmo rezultate numericne integracije modela.

V modelu uporabimo realne podatke za zlitino aluminija in bakra (tabela 1). Od snovnih lastnosti spreminjamo le parameter

.

Pri vseh analizah strjujemo obmocje dolzine

l = 0,1 m .

Levi rob palice postavimo v izhodisce koordinatnega sistema. V nadaljevanju

bomo uporabili naslednje nastavitve modela: robna pogoja za temperaturo

T1 = 100 0 C

in

T2 = 651 0 C ,
fazi

zacetna temperatura

T0 = 651 0 C

in zacetna koncentracija v kapljevinasti tock. Casovni korak pri taki krajevni

Cl 0 = 4 % .

Obmocje razdelimo na

N x = 300

delitvi nastavimo na

t = 10-3 s .

Ostali robni pogoji so natancno definirani v poglavju

(3.3). Pri nekaterih analizah spreminjamo robne pogoje, v takih primerih so zapisani le

32

spremenjeni robni pogoji. V nadaljevanju bomo z izrazom »delez« vedno imenovali volumski delez faze. 4.2. Fazni diagram Izracunajmo porazdelitev temperature in koncentracije v trdni ter kapljevinasti fazi. Izberimo cas simulacije dovolj dolg, da ze nastane obmocje, kjer je vsa snov v trdni fazi. Oglejmo si casovni potek temperature in koncentracij v obeh fazah v eni tocki. Odvisnost temperature od koncentracije v kapljevinasti in v trdni fazi znotraj kasastega obmocja predstavlja fazni diagram (slika 11). Uporabimo zacetno koncentracijo v kapljevinasti fazi

Cl 0 = 5 % .

Slika 11: Odvisnost temperature od koncentracije kapljevinaste in trdne faze znotraj kasastega obmocja. Na zgornji sliki prepoznamo fazni diagram, ko velja vzvodno pravilo ( Scheilovo pravilo (

= 1)

in ko velja

= 0 ).

Bolj natancno, narisali smo potek faznega prehoda za primer

popolne difuzije in brez difuzije v trdni snovi, kjer smo namesto koncentracije na medfaznem robu risali povprecno koncentracijo. Povprecna koncentracija v trdni fazi je v primeru, ko nimamo popolne snovne difuzije v trdni fazi seveda nizja od koncentracije v trdni fazi na medfaznem robu (slika 3). Fazni prehod se pricne v tocki primeru, ko velja fazi

(5 %, 643 o C)

in v

= 0 , konca pri evtekticni temperaturi in povprecni koncentraciji v trdni = 1,
se prehod konca pri nekoliko visji temperaturi ( 559
0

Cs = Cl 0 .

Ko velja

C ).

Na koncu prehoda (

= 0)

dobimo skok povprecne koncentracije v trdni fazi. V primeru,

ko je zacetna koncentracija v kapljevinasti fazi visja od skok tudi pri prehodu, ko velja

Cl 0 = 5, 7 % ,

dobimo podoben

= 1.

Z nizanjem temperature se vecata koncentraciji v

obeh fazah in masni delez trdne faze. Ko koncentracija v kapljevinasti fazi doseze

33

evtekticno koncentracijo ( Ce ), se preostanek kapljevine strdi pri tej koncentraciji in evtekticni temperaturi ( Te ). Na koncu strjevanja mora seveda veljati, da je povprecna koncentracija trdne snovi enaka zacetni koncentraciji v kapljevinasti fazi. Tako dobimo nezvezen skok povprecne vrednosti koncentracije v trdni fazi. Razmislek popolnoma velja, ce ni toka v kapljevinasti fazi. V modelu predpostavimo tak tok, kar nekoliko popaci fazni diagram. Ne velja vec, da mora biti po faznem prehodu povprecna vrednost koncentracije v trdni faze enaka zacetni koncentraciji v kapljevinasti fazi, temvec je koncna koncentracija v trdni fazi odvisna od makroskopskega prenosa snovi. Popravek zaradi toka v kapljevinasti fazi je za prejsnje razmisljanje zanemarljiv. 4.3. Casovni razvoj makroskopskih kolicin V prejsnjem poglavju smo analizirali odvisnost temperature od koncentracij v posamezni fazi. Za boljsi pregled modela v nadaljevanju analizirajmo krajevno porazdelitev temperature v odvisnosti od casa. Poleg temperaturnega profila je zanimivo analizirati tudi obnasanje deleza kapljevinaste faze, hitrosti v kapljevinasti fazi in specificne entalpije mesanice. Obnasanje koncentracije mesanice bomo opisali v naslednjem poglavju.

Oglejmo si obnasanje deleza kapljevinaste faze znotraj kasastega obmocja za razlicne parametre

(slika 12).

Slika 12: Deleza kapljevinaste faze v odvisnosti od kraja pri

= 0 , = 0,5

in

=1

po

2 sekundah strjevanja.
V primeru

=0

na meji med kasastim in strjenim obmocjem dobimo skok deleza

kapljevinaste faze. Iz faznega diagrama vidimo, da se fazni prehod v takem primeru konca 34

pri evtekticni temperaturi. Strjevanje pri evtekticni temperaturi si lahko predstavljamo kot strjevanje ciste snovi7. Vsa snov se strdi pri konstantni temperaturi

Te .

Iz porazdelitve deleza kapljevinaste faze lahko razberemo meje med kasastim, trdnim in kapljevinastim obmocjem. Meje oznacimo z navpicnimi prekinjenimi crtami (slika 13). Polozaj desnega roba kasastega obmocje je neodvisen od parametra dolzina kasastega obmocja pri strjevanju, ko velja strjevanju, ko velja

,

medtem ko je

= 0,

nekoliko vecja kot pri

= 1.

Imenujmo mejo med trdnim in kasastim obmocjem solidus

meja in mejo med kasastim in kapljevinastim obmocjem likvidus meja.

Narisimo krajevno odvisnost temperature, specificne entalpije mesanice in hitrosti kapljevinaste faze po

20 sekundah

strjevanja (slika 13). V primerjavi s strjevanjem ciste

snovi je pri strjevanju binarne zlitine prehod »bolj zvezen«. Specificna entalpija ima pri strjevanju ciste snovi na medfaznem robu oster skok, medtem ko pri strjevanju binarne zlitine specificna entalpija »skoraj zvezno« preide iz kapljevinastega v trdno obmocje. Ce se fazni prehod zakljuci v evtekticni tocki, pride na koncu strjevanja tudi pri binarni zlitini do skoka specificne entalpije mesanice. V primeru, ko je zacetna koncentracija v kapljevinasti fazi dovolj nizka in fazni prehod zelo pocasen, je prehod specificne entalpije mesanice iz trdne v kapljevinasto fazo zvezen. Podobno je tudi s prvim odvodom temperature po kraju in hitrostjo kapljevinaste faze.

7 Pri faznem prehodu binarne zlitine pri evtekticni koncentraciji nastajata dve razlicni trdni fazi, medtem ko pri faznem prehodu ciste snovi nastaja le ena trdna faza. Za obravnavo faznega prehoda v tem delu to ne igra nobene vloge.

35

Slika 13: Temperatura, specificna entalpija mesanice in hitrost kapljevinaste faze v odvisnosti od kraja pri = 0 , = 0,5 in = 1 po 20 sekundah strjevanja po celem obmocju (levo) in znotraj kasastega obmocja (desno). Analizirajmo krajevno odvisnost koncentracije v kapljevinasti in trdni fazi po strjevanja (slika 14).

20

sekundah

36

Slika 14: Odvisnost koncentracije od kraja v kapljevinasti in trdni fazi po strjevanja. V primeru strjevanja, ko velja

20

sekundah

= 1,

povprecna koncentracija v trdni fazi sledi vzvodnem

pravilu. V primeru strjevanja, ko velja

= 0 , se povprecna koncentracija v trdni fazi med

samim prehodom pocasi spreminja in na koncu prehoda dozivi skok. V trdnem obmocju je nesmiselno govoriti o koncentraciji v kapljevinasti fazi, zato jo postavimo na 0. Iz enakega razloga postavimo na 0 povprecno koncentracijo v trdni fazi znotraj kapljevinastega obmocja. Dobljen rezultat bi lahko ze izluscili iz faznega diagrama (slika 11) in odvisnosti deleza kapljevinaste faze od kraja (slika 12).

V nadaljevanju si oglejmo se polozaj in hitrost obeh front strjevanja (slika 15). Spremenimo zacetno stanje in robni pogoj na desnem robu palice na

T2 = 670 o C .

Z

dvigom temperature smo poskrbeli, da v ravnovesnem stanju se vedno obstajajo vsa tri obmocja. Na zgornjih grafih (slika 13) vidimo, da ni velike razlike v rezultatih pri razlicni izbiri parametra

.

V prilogi B pokazemo, da je parameter

v realnih primerih in pri

zmernih karakteristicnih casih strjevanja majhen. Ne naredimo velike napake, ce analizo nadaljujemo pri vrednosti parametra kapljevinasti in trdni fazi, kjer parameter

= 0.

Izjema bo le analiza koncentracij v

igra vecjo vlogo.

Meji likvidus in solidus se na zacetku strjevanja premikata sorazmerno s korenom casa. Tako obnasanje napoveduje tudi analiticna resitev Stefanovega problema (priloga A). Ko se meji priblizujeta drugemu robu palice, napredujeta pocasneje kot pri analiticni resitvi.

37

Slika 15: Odvisnost polozaja likvidus in solidus meje od casa strjevanja. Pojav je pricakovan, saj Stefanov problem opisuje strjevanje na poltraku, medtem ko v modelu resujemo koncno obmocje. Hitrost mej pada do ravnovesnega stanja, kjer se ustavi. Oglejmo si se casovni razvoj ostalih spremenljivk. V enakem zaporedju kot prej si najprej oglejmo obnasanje deleza kapljevinaste faze (slika 16). Na sliki je s temno modro barvo prikazano trdno obmocje in s svetlo modro kapljevinasto obmocje. Obe obmocji loci kasasto obmocje, ki je glede na delez kapljevinaste faze obarvan s prehodom med obema barvama. Vidimo, da sistem preide v ravnovesno stanje po priblizno dveh minutah in pol strjevanja, ko se popolnoma strdi

80%

obmocja. V ravnovesnem stanju ostane

6%

obmocja se vedno v kapljevinasti fazi, medtem ko ostalih

14%

obmocja obtici v

ravnovesju med obema fazama. V ravnovesju mora biti gradient temperature po celem obmocju enak. Zahtevi po konstantnem gradientu in robnima pogojema zadosca le premica, ki gre skozi tocki

(T1 , 0)

in

(T2 , l ) .

Razmislek se ujema z resitvijo modela. Na

grafu odvisnosti temperature od kraja in casa (slika 17) vidimo, da so po priblizno dveh minutah in pol strjevanja izoterme enakomerno porazdeljene po obmocju. Oglejmo si se odvisnost specificne entalpije mesanice od kraja in casa (slika 17).

38

Slika 16: Odvisnost deleza kapljevinaste faze od polozaja in casa.

Slika 17: Odvisnost specificne entalpije mesanice (levo) in temperature (desno) od polozaja in casa. 4.4. Makroizcejanje Preostala nam je le se analiza koncentracija mesanice. Tej kolicini posvetimo posebno pozornost, saj je zanimiva tako iz prakticnih razlogov, kot tudi zaradi obnasanja resitve. Pokazali bomo, da nas model popise pojav makroizcejanja ­ spremembo koncentracije po koncanem strjevanju. V metalurski praksi je pojav pomemben, saj med strjevanjem spremenimo lastnost zlitine.

Oglejmo si krajevno odvisnost koncentracije mesanice (slika 18).

39

Slika 18: Odvisnost koncentracije mesanice

C

od kraja znotraj kasastega obmocja po

20

sekundah strjevanja

Po koncanem strjevanju je v trdni fazi visja koncentracija, kot je bila v kapljevinasti fazi pred strjevanjem. V primeru, ko v kapljevinasti fazi ni toka, se koncentracija ne more spreminjati. Veljajo ohranitveni zakoni in koncentracija v kapljevinasti fazi pred

strjevanjem mora biti enaka povprecni koncentraciji v trdni fazi po faznem prehodu. V modelu smo predpostavili krcenje snovi med strjevanjem, zaradi ohranitve mase iz kapljevinaste faze v kasasto obmocje tece sveza snov. Obnasanje koncentracije mesanice intuitivno tezko razumemo. Upostevati je potrebno vpliv vec dejavnikov in tezko je v razmisleku obdrzati nadzor nad vsemi spremenljivkami. V vsak del kasastega obmocja iz ene strani priteka snov in iz druge strani odteka. Sprememba koncentracije v kapljevinasti fazi znotraj kasastega obmocja je odvisna od hitrosti in deleza kapljevinaste faze.

vl ,

koncentracije kapljevinaste faze

Oglejmo si drugi clen enacbe (2.24). V kolicini

C

spoznamo gostoto topljenca.

Upostevajmo, da je gostota kapljevinaste faze konstanta in da resujemo problem v eni dimenziji ter zapisimo drugi clen enacbe (2.24)

l

v C (vl Cl ) = l ( l Cl + l vl ) . x x x vl
in

(4.1)

V poglavju (4.3) smo analizirali obe kolicini,

Cl . Cl

Vemo, da sta

vl

in njen odvod po

kraju vedno negativni kolicini. Prav tako vemo, da je

vedno pozitivna kolicina, medtem

ko je odvod koncentracije kapljevinaste faze po kraju vedno negativna kolicina. Enacba

40

(4.1) je vsota dveh clenov z razlicnima predznakoma. Iz prejsnjih analiz lahko ocenimo vsak clen in ugotovimo, da je vsota na celotnem kasastem obmocju negativna8. S tem smo ocenili casovni odvod kolicine

C

in ugotovili, da kolicina ves cas strjevanja

narasca. Nas zanima koncentracija topljenca v snovi, ki jo izrazimo z enacbo

C=

C

.

(4.2)

Tehnicno gledano, gostota mesanice ni nic drugega kot premaknjen in skaliran delez trdne faze in zato s strjevanjem seveda narasca. Oglejmo si vse tri kolicine pri strjevanju, ko velja

=1

(slika 19).

x[m]
Slika 19: Kolicine

C

,

in

C

v odvisnosti od kraja za

= 1.

Gostota topljenca ves cas strjevanja narasca, prav tako narasca tudi gostota mesanice. V zacetku strjevanja je spreminjanje gostote mesanice hitrejse od spreminjanja gostote topljenca. Tako na zacetku strjevanja dobimo padec koncentracije. Tekom strjevanja se razmere ravno obrnejo in dobimo rast koncentracije.

Zanimivo lastnost opazimo, ko spreminjamo robne pogoje. S spreminjanjem robnega pogoja na levi strani palice ( T1 ) vplivamo na spremembo koncentracije v trdni fazi glede

8 Izjava je pogojno pravilna. Vsota je na zacetku kasastega obmocja pozitivna. Gre za nekaj tock, kjer ima enacba (4.1) zanemarljivo majhno pozitivno vrednost. Teh nekaj tock ne vpliva na koncni rezultat, tako lahko trdimo da je casovni odvod gostote topljenca ves cas pozitiven.

41

na zacetno koncentracijo v kapljevinasti fazi. Obdrzimo temperaturo na koncu palice ves cas konstantno in si oglejmo razmerje koncne koncentracije v trdni fazi proti zacetni koncentraciji v kapljevinasti fazi. Z oznako trdni fazi (slika 20).

Cs

f

je oznacena koncna koncentracija v

Slika 20: Odvisnost makroizcejanja od temperature podhladitve 4.5. Validacija modela

T f - T1 .

Obnasanje modela primerjamo z eksperimentalnimi podatki [15]. Pri eksperimentu uporabijo

100 mm

visok kalup z radijem

50 mm .

Spodnji del kalupa je vodno hlajen.

Strjevanje napreduje od spodnjega proti zgornjemu delu. Ostale stranice kalupa so toplotno izolirane. Uporabljena je zlitina aluminija in bakra z razlicnimi zacetnimi koncentracijami v kapljevinasti fazi. Pri eksperimentu so merili odvisnost temperature od casa v fiksnih tockah in krajevno porazdelitev koncentracije bakra po koncanem strjevanju.

Pri eksperimentu so na robu, kjer je obmocje hlajeno, zagotovili Robinov robni pogoji

kjer je

T x

= (T ( x = 0) - T0 ) ,
x =0

(4.3)

toplotna prestopnost in

T0

temperatura vode, s katero je rob hlajen. Za

validacijo modela opisemo ta robni pogoj s casovno neodvisno prestopnostjo. Na drugem robu obmocja privzamemo, da nimamo toplotnih izgub. V opazujemo casovno odvisno temperaturo v tockah, ki so popravljenem modelu in

49 , 29

16 mm

oddaljene od

42

ohlajenega roba. Primerjajmo rezultate

80

sekund dolge numericne simulacije z

eksperimentalnimi podatki (slika 21). Primerjamo tudi rezultate numericno izracunanega profila makroizcejanja z rezultati eksperimentalne meritve (slika 22).

Slika 21: Primerjava numericnih rezultatov z eksperimentalnimi. Na grafu je narisana odvisnost temperature od casa v fiksnih tockah. V legendi so z num oznaceni numericni izracuni in z eks eksperimentalni. Uporabili smo naslednje nastavitve modela:

N x = 300 , p = 0, 3 , T0 = 720o C

in

= 1100 W/m 2 K .

Slika 22: Primerjava numericnih rezultatov z eksperimentalnimi. Na grafu je narisana odvisnost koncentracije mesanice od kraja. Uporabili smo naslednje nastavitve modela:

N x = 900 , p = 0, 3 , T0 = 720o C , Cl 0 = 6, 2%

in

= 1120 W/m 2 K .

Opazimo, da temperatura v modelu pada pocasneje kot pri realnem eksperimentu. V modelu nismo upostevali casovno odvisne prestopnosti, ki nastane zaradi krcenja snovi 43

med strjevanjem. Rezultat makroizcejanja nasega modela se ujema z eksperimentalnimi podatki.

Stevilcnih rezultatov meritve zal nismo dobili, tako smo si pomagali z graficnim prenosom podatkov iz clanka [15]. Namen te primerjave je zgolj preveriti, ali model opise obnasanje takega sistema, kar obe primerjavi potrdita. Pri meritvah tudi opazijo pojav spreminjanja jakosti makroizcejanja pri razlicnih robnih pogojih. Enak pojav opazimo pri rezultatih nasega modela (poglavje 4.4).

5. Poglavje

Zakljucek
V diplomskem delu smo predstavili model strjevanja binarne zlitine v enodimenzionalni geometriji. Upostevali smo ohranitev snovi, sestavin in toplote na makroskopskem nivoju ter prenos sestavin na medfaznem robu. Model je dovolj natancen, da z njim opisemo pojav makroizcejanja.

Enacbe, ki opisujejo makroskopski nivo, smo resili numericno z uporabo brezmrezne metode na podlagi kolokacije z radialnimi baznimi funkcijami in eksplicitno casovno shemo. Metodo smo verificirali s primerjavo z rezultati klasicne metode koncnih razlik in analizirali njeno obnasanje. Primerjali smo napake obeh metod glede na analiticno resitev Stefanovega problema.

Pri analizi napake smo pokazali, da najvec k povprecni napaki prispevajo tocke v okolici faznega prehoda. Z uporabo brezmrezne metode je mogoce to napako omejiti z uporabo dinamicne diskretizacijske mreze (adaptacija mreze), kjer bi zgoscevali tocke v okolici faznega prehoda. V obmocjih, kjer so toplotni tokovi majhni, bi redcili diskretizacijsko mrezo. Metoda postane posebej uporabna pri posplositvi modela na vec dimenzij z zapletenimi geometrijami racunskega podrocja. Glavna slabost metode je velika poraba procesorskega casa. Izkaze se, da je pri obravnavanih primerih v povprecju 25 krat pocasnejsa od klasicne metode koncnih razlik.

Model smo validirali s primerjavo z rezultati meritve podobnega sistema in ugotovili, da model dobro opise obnasanje realnega strjevanja binarne zlitine.

V nadaljevanju bomo model posplosili na strjevanje industrijsko zanimivih vecsestavinskih zlitin v vec dimenzijah.

44

6. Poglavje

Literatura

[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]

[9]

[10]

[11] [12] [13] [14] [15]

[16] [17] [18] [19] [20]

http://www.world-aluminium.org/. W. F. Smith, Principles of Materials Science and Engineering, McGraw-Hill, 1990. B. Sarler, Stefan's work on solid-liquid phase changes, Engineering Analysis with Boundary Elements 16, 83-92 (1995). B. Sarler, M. Zaloznik, R. Vertnik, Razvoj makroizcejnih modelov za polkontinuirano in tracno ulivanje aluminijevih zlitin, Politehnika Nova Gorica, 2003. C. Swaminathan, V. R. Voller, Towards a general numerical scheme for solidification scheme, Int. J. Heat Mass Transfer 40, 2859-2868 (1996). J. D. Chung, J. S. Lee, M. Choi, H. Yoo, A refined similarity solution for the multicomponent alloy solidification, Int. J. Heat Mass Transfer 44, 2483-2492 (2001). V. R. Voller, On a general back-diffusion parameter, Journal of Crystal Growth 226, 562-568 (2001). V. R. Voller, A. Mouchmnov, M. Cross, An explicit scheme for coupling temperature and concentration fields in solidification models, Applied Mathematical Modeling 28, 79-94 (2002). W. D. Bennon, F. P. Incropera, A continuum model for momentum, heat and species transport in binary solid-liquid phase change systems - I. Model formulation, Int. J. Heat Mass Transfer 30, 2161-2170 (1987). B. Sarler, R. Vertnik, Meshless explicit local radial basis function collocation method for diffusive problems, Computers and Mathematics with Applications 51, 1269-1282 (2006). G. D. Smith, Numerical Solution of Partial Differential Equation - Finite Difference Method, Oxford University Press 2

Ta prispevek je na portalu Publikacije.net objavil/a Kosec dne 2006-11-02.

Ocenite prispevek:

5 out of 54 out of 53 out of 52 out of 51 out of 5 

Not yet Rated