Dinamika linearno stratificirane tekocine v rotacijskem sistemu

1. Uvod
Razumevanje dinamike linearno stratificirane tekocine je neposredno povezano z razumevanjem dinamike oceanov in atmosfere. Bivanje na zemlji je mocno odvisno od dogajanja v atmosfere, saj je clovek se vedno nemocno odvisen od vremenskih pojavov. Razumevanje in napovedovanje vremenskih pojavov je postala pomembna znanstvena disciplina. Na dogajanje v atmosferi precej vpliva gibanje oceanov ­ morski tokovi, izmenjava vlage, izmenjava toplote ... . Gibanje oceanov je zanimiva tema tudi iz stalisca ekologije, navigacije, ... . Obnasanje oceanov in atmosfere je mogoce podobno obravnavati. Vsaka obravnava sicer ima svoje posebnosti (kontinenti bistveno vplivajo na gibanje oceanov, medtem ko pri atmosferskih pojavih nimajo tako mocnega vpliva. Oblaki so znacilni za atmosfero ...), vendar ima osnovna dinamika podobno naravo. Pri obeh obravnavah sta pomembna dejavnika stratifikacija medija in vrtenje zemlje. Dinamika take tekocine se pogosto imenuje Geofizikalna dinamika tekocin in je znacilna za vse pojave v oceanih in astmosferi. Glavni motiv tega seminarja je bolje spoznati osnovna gibanja geofizikalnih tekocin. Poiskalni bomo nekaj nacinov valovanja morja. Zanimal nas bo predvsem priblizek za plitko morje, saj je Trzaski zaliv precej plitek (do 40m). Ko poznamo nekaj osnovnih nacinov valovanja lahko zapisem splosno resitev kot vsoto teh valov.

2. Geofizikalni sistem
2.1. Stratificirana tekocina ­ vzgonska frekveca Pomembna spremenljivka v obravnavi geofizikalne tekocine je stratifikacija tekocine. Gostota je v splosnem odvisna od temperature, tlaka in v morju od slanosti. Tako dobimo krajevno odvisnost gostote. Nas bo zanimal primer kjer je gostota odvisna le od globine. Staticno stabilen medij predstavlja tekocina, ki ima negativen gradient potencialne gostote (gostota ki bi jo imela tekocina ce bi jo adiabatno dvignil na povrsje). V nasprotnem primeru bi se tekocina premesala, saj bi se tezja plast na vrhu potopila.

d pot dz

=

d g + dz c 2

(2.1)

Drugi clen (adiabatni gradient gostote) gre za nestisljive tekocine proti nic, saj gre hitrost zvoka v nestisljivem mediju c . Navada je da se gradient gostote opise z vzgonsko frekvenco (bouyancy frequency) - N. Vzgonska frekvenca je frekvenca s katero zaniha del tekocine v stratificiranem medijo ce je malo izmaknjen iz ravnovesne lege. Do vzgonske periode pridemo, tako da sestejemo vse sile na delec tekocine in upostevamo II. newtonov zakon. Hitro pridemo do diferencialne enacbe [1]:

d2z g + N 2z = 0 , N 2 = - 2 dt 0 z

(2.2)

Vzgonska frekvenca je v splosnem odvisna od globine, vendar bo v tem seminarju obravnavana le tekocina s konstanto vrednostjo N, ali linearno stratificirana trekocina.

3

Slika 1: tipicna porazdelitev temperature, gostote in vzgonske frekvence Nekatere resitve se bodo nanasale tudi na homogeno ali dvoslojno tekocino - snov kjer ima gostota nezvezen skok. 2.2. Dinamika rotirajoce tekocine Zaradi rotacije zemlje je potrebno gibalne enacbe zapisati v rotacijskem koordinatnem sistemu. Dinamiko stisljive viskozne tekocine opisuje Navier Stokesova enacba [2] (NS).

kjer so

Dv µ = f - p + µ 2 v + ( + )(v ) Dt 3

(2.3)

gostota,

f gostota zunanjih sil, µ dinamicna viskoznost in dilatacijska

viskoznost. Namesto navadnega operatorja casovnega odvoda je v NS enacbi zaradi Eulerjevega opisa uporabljen substancialni odvod D / Dt = / t + v . Ugodno si je ogledati posebne primer za nestisljivo in neviskozno tekocino. Iz kontiunitetne enacbe za nestisljivo tekocino sledi:

+ ( v ) = 0 (v ) = 0 t u v w ++ =0 x y z

(2.4)

Navada je da se hitrosti oznacijo z u v smeri x, v v smeri y in w v smeri z. Zaradi nestisljivosti in neviskoznosti odpadeta zadnja dva clena. NS enacba postane tako precej lazje resljiva in v primeru ko je obravnavana voda sta popravka precej dobro upravicena. Za geofizikanlo obravnavo tekocine je potrebno hitrost v laboratorijskem sistemu (N) transformirati v relativno hitrost glede na tocko na zemlji (B) (Slika 2). Pricakujemo popravke zaradi vrtenja.

4

r' r R w

B

N

Slika 2:B Rotirajoc sistem ­ tocka na zemlji, N laboratorijski sistem. Splosna Navier Stokesova enacba v rotacijskem sistemu je nepregledna, a vendar je razumevanje poti do nje pomembna in pogosto prevec poenostavljeno (priloga: A). Ne da bi zapisali enacbo lahko takoj naredimo nekaj poenostavitev. Ce izhodisce koordinatnega sistema B sovpada z izhodiscem koordinatnega sistema A pomeni da enacba ne uposteva centrifugalnega pospeska zaradi vrtenja zemlje. Ta poporavek bo za nadaljno obravnavo zanemarljiv. V primeru da je opazovano dogajanje na polu zemlje se zaradi tega clena resitev le premakne v smeri vektorja

R.

Resevanje enacbe za velike skale bi bilo potrebno resevati v sfericnem koordinatnem sistemu, vendar so horizontalne skale za vecino problemov veliko manjse od radija zemlje. Ukrivljenost zemlje lahko v takem primeru zanemarimo in uvedemo lokalni kartezicni koordinatni sistem (x,y,z) in hitrost (u,v,w). Navada je se vpeljati Coriolisov parameter f = 2 sin , kjer je geografska sirina. Coriolisov parameter se lahko imenuje tudi Coriolisova frekvenca ali planetarna vrtincnost. Tako lahko zapisemo poenostavljeno NS enacbo [2]

v + 2 × v + × ( × r ) + ( v ) v = -

1

p

- fv 2 × v = fu -2 cos u

(2.5)

Vertikalna komponenta Coriolisovega clena je v vecini primerov zanemarljiva proti sili teze in vzgona v z smeri. V vecini primerov obravnavamo gibanje tekocine na konstani geografski sirini, tako je f konstanta vrednost. Tak model se imenuje f ravninski-model. V prvem priblizku lahko f razvijemo v vrsto okoli konstante - f = f 0 + y , tak model se imenuje

ravninski-model [1].

Za f model si lahko predstavljamo gibanje delca

tekocine podobno kot gibanje nabitega delca v homogenem magnetnem polju.

3. Dinamika tekocin - nacini valovanja
3.1. Povrsinski gravitacijski valovi Kot smo ze napovedali v uvodu bomo obravnavali nekatere oblike valovanja in poizkusili z resitvami razloziti kaksno bolj kompleksno gibanje. Za lazje razumevanje nadaljne analize je ugodno povedati nekaj osnov o gravitacijskih valovih. Pri gravitacijskih valovih nihanje uravnava sila teze in tlacna razlika v mediju.

5

Slika 3:Orbite delca pri gravitacijskem valovanju Gravitacijski valovi se propagirajo na horizontalni ravnini in so izotropni [1]. Delci pri gravitacijskih valovih se gibljejo po elipsah v xz ravnini. Sploscenost elipse je odvisna od globine delca, vendar je faza gibanja delca po elipsi neodvisna od globine [1]. Na povrsju so elipse skoraj kroznice in pri dnu se blizajo ravninvskem (horizontalno) gibanju. Do resitve pridemo lahko ce privzamemo da je tekocina brezvrtincna in tako lahko zapisemo hitrost kot gradient hitrostnega potenciala. Tako resujemo Laplaceovo enacbo pri dveh robnih pogojih ­ vertikalna hitrost na dnu mora biti nic (voda ne pronica skozi dno) in na povrsini mora biti enaka hitrosti gladine (delci tekocine ne morejo pobegniti iz sloja). Resitev za hitrostni potencial dobimo [1]:

=

a cosh[k ( z + H )] 2 sin ( x - ct ) k sinh(kH )

(3.1)

Analizo gravitacijskih valovanjih se razsiri na razne priblizke, nas bo zanimal priblizek tankega sloja. Pri tem priblizku upostevamo, da je H / 1 . Tako lahko hiperbolicne funkcije v resitvi za hitrostni potencial razvijemo do prvega reda in dobimo rezultat za hitrost u in w (ker je valovanje horizontalno izotropno lahko vedno postavimo smer x v smeri hitrosti u in dobimo dvo dimenzionalen problem):

u=

a cos(kx - t ) kH z v = a (1 + ) sin(kx - t ) H

(3.2)

Iz enacbe (3.2) opazimo da je vertikalna komponenta hitrosti zanemarljiva v primerjavi z horizontalno in da amplitude niso vec odvisne od globine. Tako lahko zanemarimo vertikalno hitrost in upostevamo, da spremembi tlaka prispeva le se visina stolpca tekocine. Tako dobimo le hidrostatsko tlacno spremembo:

p ' = g

(3.3) 6

Gravitacijski valovi v piltiki vodi se zaradi te lastnosti imenujejo tudi hidrostatski valovi. V nadaljevanju bomo vecino delali le v priblizku plitkega sloja tako da lahko zapisemo se fazno hitrost za tako vrsto valovanja:

c = gH

(3.4)

Na morju valovi nikoli ne nastopajo le z eno frekvenco. Realna slika valovanja je vsota po vseh moznih valovanjih, v odvisnosti od zacetnih pogojev. Smer sirjenja energije je podana z grupno hitrostjo, ki v primeru splosnega gravitacijskega vala ni enaka fazni [1]. V priblizku plitkega sloja postane grupna hitrost spet enaka fazni. Primer: za morje globoko 5km je hitrost valovanja ranga c = 220m / s . Za nase morje ki je globoko okoli 20m je hitrost ranga c = 15m / s . Zaradi priblizka o neviskozni tekocini ne dobimo pricakovanega dusenja, saj ni nobenih sil ki bi lahko ustavljale valovanje. 3.2. Interni valovi Do valovanja lahko pride tudi na meji med dvema plastema tekocine. Tak primer je v morju lahko izliv reke. Gostota ima oster skok na neki globini in tako da dobimo dvoslojno tekocino (lahko tudi vec slojno). V takem primeru razdelimo podrocje na dva dela in za vsakega posebej resujemo Laplaceovo enacbo. Na meji jih kot smo vajeni zlepimo. Z zelo podobnim racunom kot za povrsinske valove pridemo do disperzijske relacije

= gk

2 - 1 2 + 1

(3.5)

Takoj opazimo da v primeru ko je gostota zgornje tekocine ( 1 ) nic dobimo rezultat za povrsinske valove. Povrsinski valovi so valovi kjer je zgornja tekocina zrak in lahko recemo da ima gostoto blizu nic (v primerjavi z vodo). Opazimo da imajo interni valovi v splosnem nizjo frekvenco in ce bi zapisali se energijsko bilanco bi opazili, da imajo vecje amplitude [1]. To si lahko predstavljamo z vzmetjo ­ vecja ko je razlika gostot vecji bi bil koeficent vzmeti in tako vecja frekvenca in nizja amplituda. V primeru ko imamo koncen sloj tekocine z nizjo gostoto na neskoncnem sloju s koncno gostoto lahko pricakujemo dva nacina nihanja (slika 4)

7

Slika 4: Nacina valovanja pri koncnem sloju tekocine na neskocno globoki plasti Pri barotropnem nacinu izokline in izobare sovpadajo medtem ko pri baroklinskem nacinu zaradi odmikov tekocine temu ni vec tako. Za nas bolj usodno je spoznanje da sta horizontalni hitrosti v zgornjem in spodnjem sloju pri baroklinskem nacinu obratni. To pomeni da je mejna povrsina ni vec brezvrtincna in to pomeni da ne velja vec Laplaceova enacba. Za N-slojno tekocino to seveda ni problem, saj lahko obmocje razdelimo na N obmocji. Za vsako obmocje bo spet veljala Laplaceova enacba. Resitve za razlicna podrocja le zlepimo z 2N robnimi pogoji. Problem se bo pojavil pri zvezno stratificirani tekocini. Opazimo da se gibanje bistveno spremeni pri tako konfiguraciji tekocine. Hitrost v takem rezimu je podobna kot pri navadnih povrsinskih valovih:

c = g 'H

- 1 g'= g 2 2

(3.6)

Le da namesto garvitacijskega pospeska vpeljemo reduciran gravitacijski pospesek. Hitrsot v takem sloju je manjsa kot v povprsinskih valovih. V primeru ko imamo barotropen nacin nihanja lahko recemo za stratificiran medij, da ima v splosnem valovanje v njem veliko krajse valovne dolzine kot v homogenem mediju. 3.3. Valovi v zvezno stratificirani tekocini Bolj zanimi postanejo interni valovi v stratificiranem mediju. Podobno kot je pri gravitacijskih valovih mejna plast tekocina zrak lahko za interne valove predstavlja plast vsaka izoklina (ravnina z enako gostoto). Kot smo videli v prejsnjem poglavju sedaj resitev problema ne bo vec resitev Laplaceove enacbe. Iskanje obnasanja se zacne z Boussinesq-ovim1[1] priblizkom za dinamiko tekocin:

u 1 p =- 0 x t

v 1 p =- 0 y t

w 1 p g =- - 0 z 0 t

(3.7)

1

Boussinesq-ov priblizek se uporablja ko je machovo stevilo toka dovolj majhno, propagacija zvocnih valov ni upostevana, vertikalni tokovi so majhni in temeperaturne razlike so majhne. Gostoto je tako konstantna v kontinuitetni in gibalnih enacbah (razen v gravitacijskem clenu). Konstante se tudi ostali lastnosti tekocine. Povzeto po [1].

8

Resevanja sistema enacb se lotimo (3.7) s klasicnem nastavkom za valovanje [1]. Racun nas pripelje do disperzijske relacije:

= cos( )N

(3.8)

Podobno kot prej lahko x os koordinatnega sistema postavimo vzporedno z hitrostjo u in opazimo da je frekvenca odvisna od kota med valovnim vektorjem in horizontalno ravnino, lahko tudi kot med fazno hitrostjo in vertikalno osjo. Neposredno lahko razberemo najvisjo mozno frekvenco ­ N. Delec lahko niha z najvisjo frekvenco ko niha vertikalno. Zanimiv je rezultat za grupno hitrost. Po izracunu grupne hitrosti [1] se izkaze, da je pravokotna glede na fazno hitrost. Val se propagira pravokotno glede na fazno hitrost. Na rezultat lahko pogledamo tudi iz druge smeri. Ce v linearno stratificirani tekocini vzbujamo oscilacije z neko frekvenco manjso od N, se bo valovanje sirilo le pod kotom , ki zadosca vsiljevani frekvenci - torej kotom ki zadosca enacbi (3.8). Valovanje se bo tako sirilo v stiri pravokotne smeri rotirane za kot glede na horizotnalno ravnino.

Slika 5: Obnasanje internih valov v stratificirani tekocini ­ fazna in grupna hitrost sta pravokotni, propagacija valovanja je pod danim kotom glede na horizontalno ravnino. 3.4. Rotacijski gravitacijski valovi - Poincarejevi valovi Naslednji korak k razumevanju geofizikalnih gibanj je upstevanje coriolisovega pospeska v dinamicnih enacbah. Coriolisova sila postane dovolj velika, ko imamo valovanje s frekvenco primerljivo z f. V prejsnji obravnavi smo opazovali valovanja kjer je frekvenca mnogo vecja od coriolisovega parametra. Resevanja dinamicnih enacb v vrtecem sistemu se lotimo v priblizku za plitiek sloj. Kot smo videli v poglavju (3.1) je v priblizku za plitek sloj lahko tlacno spremembo zapisemo hidrostaticno, saj so vertikalne hitrosti mnogo manjse od horizontalnih in jih lahko zanemarimo. Tako lahko iz encbe (3.3) zapisemo gradient tlaka:

p = g x x

p = g y y

(3.9)

Sedaj vertikalno integriramo kontinuitetno encbo (2.4) od dna do gladine -

[0, H + ] . V

poglavju 3.1 smo videli da so horizontalne hitrosti v priblizku za plitek sloj neodvisne od globine. Iz robnih pogojev izrazimo hitrost na gladini in dnu (oba clena namrec dobimo 9

pri integraciji enacbe sistem.

(2.4)) in lahko zapisemo dinamicne enacbe za plitek rotacijski

u v +H + =0 t x y

u - fv = - g t x

v + fu = - g t y

(3.10)

Nove dinamicne enacbe (3.10) opisujejo gibanje tekocine v rotacijskem sistemu. Vzamemo standarni nastavek za valovanje.

(u , v, ) = (u0 , v0 ,0 )ei ( kx +ly -t )

(3.11)

Ce je bilo gibanje delca v nevrtecem sistemu nihanje v horizontalni ravnini (vsa razmisljanja so za gibanje v plitkem sloju, v razseznem sloju dobimo nihanje tudi v vertikalni osi) sedaj pricakujem elipticno gibanje. To hitro potrdijo tudi enacbe, saj ce resimo sistem (3.10) dobimo nihanje hitrosti v in u v faznem zamiku / 2 . Razlaga za spremembo je dokaj preprosta. Pri f modelu bo pravokotno na delec, ki se giblje, ves cas delovala sila. Razlog za krozenje je enak kot pri gibanju nabitega delca v homogenem magnetnem polju.

Slika 6: horizontalna orbita delca v rotacijskem sistemu ­ Poincarejev val Ce v sistem enacb (3.10) vstavimo nastavek (3.11) dobimo sistem linearnih enacb. Disperzijsko relacijo dobimo z enacenjem determinatne dobljenega sistema na nic.

2 = f 2 + gHK 2
Kjer je

(3.12)

K = (k , l ) valovni vektor. V primero ko je frekvenca vsiljevanja podobna

coriolisovi frekvenci orbite postanejo kroznice. Takemo gibanje se imenuje inercialno gibanje. Tipicnen radij kroznice je ranga 1km in tipicni tokovi so 0.1 m/s. 3.5. Kelvinovi valovi Do sedaj smo obravnavali horizontalno neskoncen medij. V primeru ko omejimo medij na eni strani se obnasanje seveda spremeni. Dobimo dodaten robni pogoj, ki govori da se tekocina ne more siriti v steno. Ce postavimo koordinatni sistem tako da stena kaze v smeri x in se nahaja na y = 0 lahko formuliramo nov robni pogoj v( y = 0) = 0 . Posledice lahko pricakujemo. Tekocina se ne more vec prosto gibati v y osi, a nanjo se vedno deluje Coriolisova sila, ki sedaj tekocino »pritiska« na steno. Oglejmo si sistem enacb (3.10) z novim robnim pogojem. Ob steni dobimo:

10

fu = - g

y

(3.13)

Gladina se ob steni dvigne ali spusti, odvisno od smeri gibanja tekocine in geografske sirine. Gladina ima obliko:

= 0 e -y
Kjer je

(3.14)

= c / f Rossby-ev radij deformacije. Elipse horizontalnega gibanja se v blizini

stene sploscijo in ponovno dobimo nihanje v x smeri. Kelvinovi valovi se vedno propagirajo ob obalah. Poznamo tudi ekvatorske Kelvinove valove. Kelvinovi valovi nimajo disperzije in njihova fazna hitrost je enaka nerotacijskim gravitacijskim valovom (3.4).

Slika 7: oblika gladine ob steni kjer se tekocina giblje s smeri normale lista. Podobno kot smo prej obravnavali interne gravitacijske valove lahko sedaj naredimo za interne Kelvinove valove. Potem imamo opravka z internim Rossby-evim radijem deformacije, ki je manjsi kot povrsinski[1]. Tipicne vrednosti za interni Rossby-ev radij deformacije je 50km [1], medtem ko za 20m globoko morje na nasi geografski sirini pricakujemo radij deformacije 140km. 3.6. Lastni nacini v zvezno stratificirani rotirajoci tekocini V poglavju (3.3) smo ze nekaj povedali o lastnih nacinih valovanja v zvezno stratificiranem mediju. Sedaj nas zanima kaksna so ta stanja v rotirajocem sistemu. Radi bi poiskali splosno resitev sistema enacb (3.7) z dodanimi Coriolisovimi cleni. Da bo problem lepse formuliran enacbe ponovno zapisem z dodanimi cleni:

1.

u 1 p - fv = - t 0 x

3. 0 = - 4.

1 p g - 0 z 0

v 1 p 2. + fu = - 0 y t

0 N 2 - =0 g t

(3.15)

Prva, druga in tretja enacba so komponente vektorske NS enacbe za dan problem. Pri tretji enacbi smo ze upostevali, da so hitrosti v vertikalni smeri zanemarljive v primerjavi s hitrostmi v horizontalni smeri. Cetrta enacba je le substancialni odvod gostote po casu, ki mora zaradi nestisljivosti biti nic. V advekcijskem clenu cetrte enacbe smo gradient gostote ze zapisali z vzgonsko frekvenco. Zaradi simetrije je ugoden razcep resitve na vertikalen in horizontalen del. Resitev sistema bomo zapisali kot vsoto vertikalnih ­ lastnih nacinov. V splosnem lahko zapisem nastavek v obliki vsote

11

[u , v, p ] = [un ( x, y, t ), vn ( x, y, t ), pn ( x, y, t )] n ( z )
n =0

w = wn ( x, y ) n ( z )dz
z n =0

-H

= n ( x, y )
n =0

d n dz

(3.16)

Enacbe za u,v in p morajo imeti enako vertikalno strukturo da lahko zadoscajo prvi in drugi enacbi v sistemu enacb (3.15). Iz kontinuitetne enacbe (2.4) vidimo zahtevo da je vertikalni profil vertikalne hitrosti odvisen od integrala funkcije . Podobno lahko iz tretje enacbe sistema (3.15) vidimo da mora biti gostota v odvisnosti od odvoda funkcije . Ko vstavimo nastavek (3.16) v sistem (3.15) po krajsem racunu dobimo diferencialno enacbo za funckijo

in sicer:

d -2 d n N dz dz

1 + 2n = 0 cn

(3.17)

Enacba (3.17) postane za linearno stratificiran sistem preprosta nihajna enacba, saj N ni vec odvisen od koordinate z. Zanimivo je da ko resimo sistem (3.15) z upostevanjem (3.17) in nastavka (3.16), dobimo identicen sistem kot za homogeno plast (3.10). V clenu

pn spoznamo clen g in cn 2 nadomestimo z gH . Sledi uporabna izjava: normalni

nacini zvezno stratificiranega rotacijskega sistema imajo enako horizontalno in casovno sliko kot enak homogen sistem globine:

c2n He = g

(3.18)

Za resevanje enacbe (3.17) uporabim enake robne pogoje kot pri gravitacijskih valovih. Iz (3.16) hitro opazimo robne pogoje za funkcijo n

d dz

=0
z =- H

d n N 2 + n = 0 g dz z =0

(3.19)

Prvi pogoj zahteva da je vertikalna hitrost na dnu nic in drugi pogoj zahteva da so delci ujeti v tekocino. Resitev enacbe (3.17) je seveda vsota dveh triogonometricnih funkcij.

n = cos(

Nz Nz Nz )- sin( ) cn cn cn cN NH )= n cn g

(3.20)

Iz prvega robnega pogoja dobim se zvezo:

tan(
Za osnovno stanje n=0 dobimo

(3.21)

0 1

- barotropno stanje. Ostala stanja so baroklinska.

12

Slika 8: vertikalni nacini nihanja linearno stratificirane rotirajoce tekocine Za interno valovanje v nerotirajocem sistemu smo izpeljali zgornjo mejno frekvenco (3.8). Sedaj nas zanima kako je z omejitvami, ko v dinamicnih enacbah upostevamo rotacijo koordinatnega sistema. Z upostevanjem

2 2 2w w + N 2 2 H w + f 2 2 = 0 t 2 z
Sedaj vstavimo nastavek

(3.22)

w = w( z )ei ( kx +ly - wt )
v enacbo (3.22) in dobimo sledeco diferencialno enacbo:

(3.23)

d 2 w0 ( N 2 - 2 )(k 2 + l 2 ) + w0 = 0 2 - f 2 dz 2

(3.24)

Iz drugega clena v enacbi (3.24) lahko razberemo kaksna je lahko frekvecna. Enacba (3.24) mora zadostiti robnim pogojem in to lahko le ce je resitev triogonometricna funkcija. Resitev encbe (3.24) bo triogonometrcna funkcija le ce je drugi clen pozitiven. V nasprotnem primeru dobimo vsoto eksponentnih funkcij. Tako lahko hitro vidimo da je pogoj za normalne nacine:

f < < N

(3.25)

Povzamemo lahko da je splosna resitev valovanja v stratificiranem rotirajocem sistemu vsota lastnih nihanj. Vertikalno strukturo dolocajo lastne funkcije ­ vertikalni lastni nacini. 3.7. Plimsko valovanje Primer uporabe lastnih nacinov valovanja v dani geometriji je plimsko valovanje v pravokotnem bazenu. Jadransko morje lahko v grobem opisemo kot pravokoten bazen brez ene stranice. Gibanje tekocine v takem bazenu opisemo kot vsoto dveh Kelvinovih valov in celega spektra Poincarejeveih valov (izkaze se da je prvih 30 clenov ze dovolj [4]). En Kelvinov val se propagira na enem robu bazena. Val se na koncu bazena odbije 13

in odbiti val se nato propagira ob drugem robu nazaj na odprto morje. Ta racun je naredil G.I. Taylor leta 1920 [5]. Aplikacijo za severni Jadran je naredil Renzo Mosetti leta 1986 [4].

Slika 9: Horizontalno gibanje tekocine v pravokotnem rotirajocem bazenu. Bolj ko se blizamo k steni bolj so elipse sploscene. Ob robu dobimo cisti Kelvinov val, ki se propagira po robu bazenu. Z oddaljevanjem od roba vpliv robnega pogoja ob steni upada in tako dovolj dalec dobimo ciste Poincarejeve valove. Vmesno obmocje je vsota obeh nacinov ­ Kelvinovega in Poincarejevega vala. Taka resitev zadosca gibalnim enacbam in robnim pogojom. Tako valovanje napaja gravitacijski potencial lune in sonca ­ plimski potencial, kjer je osnovna lunina perioda 12.42h in osnovna sonceva perioda 12h. Teoreticna amplituda luninega vzbujanja je 53cm in soncevega 24cm. V primeru Jadranskega morja so te valovi inducirani s plimovanjem Jonskega morja [4].

14

4. Zakljucek
Ta seminar je le kratek uvod v razumevanje dinamike tekocin v geofizikalnem sistemu. Naredili smo veliko priblizkov. Tekocina je bila ves cas neviskozna in nestisljiva. Vecina rezultatov je bila narejena za plitko morje. Zanimive postanejo analize razlicnih konfiguracija plasti tekocine ­ vec slojne plasti. Ta del oceanografije smo le preleteli. Izpustili smo tudi obravnavo topologije. Vsekakor je poznavanje dinamike geofizikalne tekocine v splosnem komplicirano. Obstajajo numericni modeli in tudi eksperimentalna veja raziskovanja take tekocine. Laboratorij za dinamiko tekocin na Morski Bioloski Postaji ­ Piran, ki deluje v sklopu z Nacionalnim Institutom za Biologijo je en izmed takih laboratorijev. Laboratorij trenutno se ni pripravljen za prave meritve. Na sliki (13) lahko vidite preizkus novega laserja za osvetljevanje plasti tekocine, ki bi jo radi obravnavali.

Slika 10: Fotografija testnega osvetljevanja plasti z laserjem. Vidi se laserska ravnina ki seka plast obarvane snovi. Barvilo dodajamo preko kletke, ki jo nato z robotsko roko umaknemo da se barvilo lahko siri po prostoru. Kleta je na fotografiji se v bazenu. Vidi se da je pri poizkusu bilo barvilo pregosto in se je zato hitro potopilo na dno. Uporabljeni sta dve barvili ­ zelena tvorba je z UV svetlobo osvetljen fluoroscein in delci v laserski ravnini so osvetljeni delci orgasola.

15

Literatura [1] Pijush K. Kundu, Ira M. Cohen, Press, (2004) Fluid Mechanics Third Edition, Elsevier Academic

[2] James P. Vanyo, Rotating Fluids in Engineering and science, Dover Publivations, (1993) [3] Myrl C. Hendershott, Long Waves and Ocean Tides, http://ocw.mit.edu/ [4] Renzo Mosetti, Determination of the current structure of the M2 tidal component in the northern Adriatic by apllying the rotara analysis to the Taylor model, Bollettino di Oceanologia Teorica ed Applicata, Vol. IV N.3 Luglio 1986 [5] G. I. Taylor, Tidal oscillations in gulfs and rectangular basins, Proc. of the London Math. Soc., 1920, pp.148-181

16

Ta prispevek je na portalu Publikacije.net objavil/a Kosec dne 2006-10-30.

Ocenite prispevek:

5 out of 54 out of 53 out of 52 out of 51 out of 5 

Not yet Rated